【斐波那契】原来困扰多年的生兔子问题竟然能够轻松拿捏...万能公式法...

news2024/11/24 14:25:58

上篇文章我们讲解了「矩阵快速幂」技巧，通过快速幂极大的优化了 斐波那契数列 的求解问题。并且通过分析知道了 系数矩阵 是解决问题的关键。

本文我们继续深化对于 系数矩阵 的求解，介绍一种通用方法，一举解决所有 斐波那契及变种类型 的问题。

提示： 先看上篇文章效果更佳哦~

生兔子问题

有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不会死，问第 N 月有多少对兔子？

这道题不是典型的斐波那契数列么，递推公式为：

这和上道题目一模一样，根本不需要讲解。但是，我们对于本题进行一定的改编，增加点儿难度。

假设，现有一对成熟的兔子，新出生的兔子从出生的 第 4 个月 开始每月生一对兔子，问第 N 月有多少对兔子呢？

注意：

第一月已经有成熟的兔子了，所以从第二月开始就有新的兔子诞生了。
新出生的兔子三个月后才会生新的兔子。

通过分析不难发现：

因此，递推表达式为：

（如果这样不容易想出来，也可以自己动手列举列举，多写几项就能观察出规律啦）

关系推导

按照上篇文章的思路，我们做如下推导：

温馨提示：先看上篇文章更好理解哦~

将 三个相邻项 写成矩阵形式，由此可以得到关系式：

因此系数矩阵就得到了，后续的求解和上篇文章的简直一模一样了~

-----------------------桥豆麻袋---------------------

有小伙伴说了，这个系数矩阵不太会搞出来啊，那怎么办呢？有什么无脑办法么…哎，还真有！

这就要拿出我们初中就学过的万能的 待定系数法 了。

不就是一个系数矩阵嘛，我直接全设成未知数，一个一个解出来不就行了~

九个未知数，需要九个式子：

虽然看着麻烦，其实解起来也还行吧~哈哈哈，这样我们依然能够得到系数矩阵。

有了系数矩阵之后，就可以将第 n 项化简成只与前 3 项有关的式子。

即系数矩阵的 n-3 次方的第一行与 F3, F2, F1 的内积和。

代码

public static int f(int n) {
    if (n < 1) {
        return 0;
    }
    if (n == 1 || n == 2 || n == 3) {
        return n;
    }
    int[][] base = { { 1, 0, 1 }, { 1, 0, 0 }, { 0, 1, 0 } };
    int[][] res = matrixPower(base, n - 3);
    return 3 * res[0][0] + 2 * res[0][1] + res[0][2];
}

private static int[][] matrixPower(int[][] m, int p) {
    int[][] res = new int[m.length][m[0].length];
    for (int i = 0; i < res.length; i++) {
        res[i][i] = 1;
    }
    int[][] t = m;
    for (; p != 0; p >>= 1) {
        if ((p & 1) != 0) {
            res = produce(res, t);
        }
        t = produce(t, t);
    }
    return res;
}

private static int[][] produce(int[][] a, int[][] b) {
    int n = a.length;
    int m = b[0].length;
    int k = a[0].length;
    int[][] ans = new int[n][m];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            for (int c = 0; c < k; c++) {
                ans[i][j] += a[i][c] * b[c][j];
            }
        }
    }
    return ans;
}