1、薄板样条插值TPS原理

概述

薄板样条（Thin Plate Spline），简称TPS，是一种插值方法，可找到通过所有给定点的“最小弯曲”光滑曲面。因为它一般都是基于2D插值，所以经常用在在图像配准中，也可以用于图像扭曲变形（扩充图像）。在两张图像中找出N个匹配点，应用TPS可以将这N个点形变到对应位置，同时给出了整个空间的形变(插值)。
在使用TPS图像配准过程中，需要输入原始图像初始点（也就是变换前像素点的位置），和目标图像的目标点（也就是变换之后像素点在目标图像中的位置）。通常为两张图像上的m组匹配点，如P1(x1,y1)->P1’(x1’,y1’)、P2(x2,y2)->P2’(x2’,y2’)…Pm(xm,ym)->Pm’(xm’,ym’)。可以通过Shift、Surf、Orb，以及光流跟踪等算法获取匹配点对。我们以文字扭曲变形为例，TPS算法就是将原始图像中的红色点，变换到目标图像中绿色点的过程，在这个过程中要求图像平面所在薄板弯曲变形所需的能量最小，能量公式如图1。

原理以及公式推导

图1
TPS形变的目标是求解一个函数f，使得f(Pi)=Pi’ (1≤i≤n)，并且弯曲能量函数最小，同时图像上的其它点也可以通过插值函数f得到很好的校正。
可以证明薄板样条的插值函数就是弯曲能量最小的函数：

f(x,y) = [[xi’],
[yi’]]

因此
令

则公式中的前半部分可以表示成以下形式：

后半部分中的U可以表示成以下形式：

首先看基础函数
的图像。

得到矩阵K

用K和P矩阵组合成L矩阵

令Y等于以下格式

则得

公式1
由上式得：

进而得到两个分解表达，第一个向量v表示的是目标点位置，向量o表示的是额外约束。

在上述表达式中，需要求解W和A矩阵，由公式1解得W和A矩阵：

到此，推到完毕。

2、torch实现

步骤解析：

1. 先根据m个控制点求出w和a
   1.1. 构造P、K、Y矩阵
   1.2. 计算W、A
   1.3. 生成网格grid，并计算K，P
   1.4. 计算输出结果Y
2. 然后可以根据输入点p得到目标点p’。
   p’ = p@a+k@w
   其中@表示点乘p的维度为m×3、a的3×2、k的m×m、w的m×2
3. 在计算w和a的过程，m的值为控制点的数量。
4. 在推理阶段，m的值为所有的像素点的数量n（n=H*W）。

import cv2
import numpy as np
import random
import torch
from torchvision.transforms import ToTensor, ToPILImage
DEVICE = torch.device("cpu")
def choice3(img):
    '''
    产生波浪型文字
    :param img:
    :return:
    '''
    h, w = img.shape[0:2]
    N = 5
    pad_pix = 50
    points = []
    dx = int(w/ (N - 1))
    for i in range( N):
        points.append((dx * i,  pad_pix))
        points.append((dx * i, pad_pix + h))

    #加边框
    img = cv2.copyMakeBorder(img, pad_pix, pad_pix, 0, 0, cv2.BORDER_CONSTANT,
                             value=(int(img[0][0][0]), int(img[0][0][1]), int(img[0][0][2])))

    #原点
    source = np.array(points, np.int32)
    source = source.reshape(1, -1, 2)

    #随机扰动幅度
    rand_num_pos = random.uniform(20, 30)
    rand_num_neg = -1 * rand_num_pos

    newpoints = []
    for i in range(N