Prophet面试题

1. 简要介绍Prophet

常见的时间序列分解方法：

将时间序列分成季节项$S_t$，趋势项$T_t$，剩余项$R_t$，即对所有的$t\ge 0$
$$y_t=S_t+T_t+R_t$$

$$y_t=S_t\times T_t\times R_t$$

$$\ln y_t=\ln S_t+\ln T_t+\ln R_t$$

fbprophet 的在此基础上，添加了节日项。
$$y(t)=g(t)+s(t)+h(t)+{ϵ}_t$$

2. 趋势项模型

• 基于逻辑回归

  sigmoid 函数为
  $$\sigma (x)=1/\left(1+e^{-x}\right)$$
  prophet在逻辑回归的基础上添加了随时间变化的参数，那么逻辑回归就可以改写成：
  $$f(x)=\frac{C(t)}{\left(1+e^{-k(t)(x-m(t))}\right)}$$
  这里的 $C$ 称为曲线的最大渐近值， $k$ 表示曲线的增长率，$m$ 表示曲线的中点。当 $$C=1,k=1,m=0$$时，恰好就是大家常见的 sigmoid 函数的形式。

• 基于分段线性函数
  $$g(t)=\frac{C(t)}{1+\exp (-\left(k+\mathbf{a}(t{)}^t\mathbf{\delta }\right)\cdot (t-\left(m+\mathbf{a}(t{)}^T\mathbf{\gamma }\right)}$$
  $k$表示变化量

  $a_j(t)$表示指示函数：
  $$a_j(t)=\{\begin{array}{l}1,\text{ if }t\ge s_j\\ 0,\text{ otherwise }\end{array}$$
  ${\delta }_j$表示在时间戳$s_j$上的增长率的变化量

  ${\gamma }_j$确定线段边界
  $${\gamma }_j=\left(s_j-m-\sum _{\ell <j}{\gamma }_{\ell }\right)\cdot \left(1-\frac{k+{\sum }_{\ell <j}{\delta }_{\ell }}{k+{\sum }_{\ell \le j}{\delta }_{\ell }}\right)$$
  其中：
  $$\mathbf{a}(t)={\left(a_1(t),\cdots ,a_S(t)\right)}^T,\mathbf{\delta }={\left({\delta }_1,\cdots ,{\delta }_S\right)}^T,\mathbf{\gamma }={\left({\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_S\right)}^T$$

3. 变点的选择

在 Prophet 算法中，需要给出变点的位置，个数，以及增长的变化率：

• changepoint_range

  changepoint_range 指的是百分比，需要在前 changepoint_range 那么长的时间序列中设置变点

• n_changepoint

  n_changepoint 表示变点的个数，在默认的函数中是 n_changepoint = 25

• changepoint_prior_scale。

  changepoint_prior_scale 表示变点增长率的分布情况
  $${\delta }_j\sim \mathrm{Laplace}(0,\tau )$$
  $\mathcal{T}$就是 change_point_scale

4. 对未来的预估

对于已知的时间序列，可以手动设置s个变点

对于预测的数据模型使用Poisson分布找到新增的变点，然后与已知的变点进行拼接

5. 季节性趋势

时间序列通常会随着天，周，月，年等季节性的变化而呈现季节性的变化，也称为周期性的变化

prophet算法使用傅立叶级数来模拟时间序列的周期性

$P$表示时间序列的周期， $P=365.25$表示以年为周期，$P=7$表示以周为周期。它的傅立叶级数的形式都是：
$$s(t)=\sum _{n=1}^N\left(a_n\cos \left(\frac{2\pi nt}{P}\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi nt}{P}\right)\right)$$

6. 节假日效应（holidays and events）

除了周末，同样有很多节假日，而且不同的国家有着不同的假期，不同的节假日可以看成相互独立的模型，并且可以为不同的节假日设置不同的前后窗口值，表示该节假日会影响前后一段时间的时间序列。
h ( t ) = Z ( t ) κ = ∑ i = 1 L κ i ⋅ 1 { t ∈ D i } h(t)=Z(t) \boldsymbol{\kappa}=\sum_{i=1}^{L} \kappa_{i} \cdot 1_{\left\{t \in D_{i}\right\}} h(t)=Z(t)κ=i=1∑L​κi​⋅1{t∈Di​}​
其中： Z ( t ) = ( 1 { t ∈ D 1 } , ⋯   , 1 { t ∈ D L } ) , κ = ( κ 1 , ⋯   , κ L ) T Z(t)=\left(1_{\left\{t \in D_{1}\right\}}, \cdots, 1_{\left\{t \in D_{L}\right\}}\right), \boldsymbol{\kappa}=\left(\kappa_{1}, \cdots, \kappa_{L}\right)^{T} Z(t)=(1{t∈D1​}​,⋯,1{t∈DL​}​),κ=(κ1​,⋯,κL​)T，$\mathbf{\kappa }\sim \mathrm{Normal}\left(0,v^2\right)$

并且该正态分布是受到$v$ = holidays_prior_scale 这个指标影响的。默认值是 10，当值越大时，表示节假日对模型的影响越大；当值越小时，表示节假日对模型的效果越小

7. 参数

在 Prophet 中，用户一般可以设置以下四种参数：

1. Capacity：在增量函数是逻辑回归函数的时候，需要设置的容量值。

2. Change Points：可以通过 n_changepoints 和 changepoint_range 来进行等距的变点设置，也可以通过人工设置的方式来指定时间序列的变点。

3. 季节性和节假日：可以根据实际的业务需求来指定相应的节假日。

4. 光滑参数：

   $\tau$ = changepoint_prior_scale 可以用来控制趋势的灵活度

   $\sigma$ = seasonality_prior_scale 用来控制季节项的灵活度，

   $v$ = holidays prior scale 用来控制节假日的灵活度。