文章目录
- 一、应用场景
- 二、递归的概念
- 三、递归能解决的问题
- 四、递归需要遵守的重要规则
- 五、递归-迷宫问题
- 六、递归-八皇后问题（回溯算法）
- 6.1 问题介绍
- 6.2 思路分析
- 5.3 Java代码实现
一、应用场景
二、递归的概念
简单的说: 递归就是方法自己调用自己, 每次调用时传入不同的变量. 递归有助于编程者解决复杂的问题, 同时 可以让代码变得简洁。
我列举两个小案例, 来帮助大家理解递归, 部分学员已经学习过递归了, 这里在给大家回顾一下递归调用机制
- 打印问题
- 阶乘问题
- 使用图解方式说明了递归的调用机制
public class RecursionTest {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
//通过打印问题，回顾递归调用机制
test(4);
//int res = factorial(3);
//System.out.println("res=" + res);
}
//打印问题.
public static void test(int n) {
if (n > 2) {
test(n - 1);
}
System.out.println("n=" + n);
}
//阶乘问题
public static int factorial(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
} else {
return factorial(n - 1) * n; // 1 * 2 * 3
}
}
}
输出：
n=2
n=3
n=4
三、递归能解决的问题
- 各种数学问题如: 8 皇后问题, 汉诺塔, 阶乘问题, 迷宫问题, 球和篮子的问题(google 编程大赛)
- 各种算法中也会使用到递归, 比如快排, 归并排序, 二分查找, 分治算法等.
- 将用械解决的问题 一> 递归代码比较简洁
四、递归需要遵守的重要规则
- 执行一个方法时, 就创建一个新的受保护的独立空间(栈空间)
- 方法的局部变量是独立的, 不会相互影响, 比如 n \mathrm{n} n 变量
- 如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组), 就会共享该引用类型的数据.
- 递归必须向退出递归的条件逼近, 否则就是无限递归, 出现 StackOverflowError, 死龟了:)
- 当一个方法执行完毕, 或者遇到 return, 就会返回, 達守谁调用, 就将结果返回给谁, 同时当方法执行完毕或 者返回时, 该方法也就执行完毕
五、递归-迷宫问题
public class MazeProblem {
public static void main(String[] args) {
// 先创建一个二维数组，模拟迷宫
// 地图
int[][] map = new int[8][7];
// 使用1 表示墙
// 上下全部置为1
for (int i = 0; i < 7; i++) {
map[0][i] = 1;
map[7][i] = 1;
}
// 左右全部置为1
for (int i = 0; i < 8; i++) {
map[i][0] = 1;
map[i][6] = 1;
}
//设置挡板, 1 表示
map[3][1] = 1;
map[3][2] = 1;
// map[1][2] = 1;
// map[2][2] = 1;
// 输出地图
System.out.println("地图的情况");
for (int i = 0; i < 8; i++) {
for (int j = 0; j < 7; j++) {
System.out.print(map[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
//使用递归回溯给小球找路
//setWay(map, 1, 1);
setWay2(map, 1, 1);
//输出新的地图, 小球走过，并标识过的递归
System.out.println("小球走过，并标识过的 地图的情况");
for (int i = 0; i < 8; i++) {
for (int j = 0; j < 7; j++) {
System.out.print(map[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
//使用递归回溯来给小球找路
//说明
//1. map 表示地图
//2. i,j 表示从地图的哪个位置开始出发 (1,1)
//3. 如果小球能到 map[6][5] 位置，则说明通路找到.
//4. 约定： 当map[i][j] 为 0 表示该点没有走过 当为 1 表示墙 ； 2 表示通路可以走 ； 3 表示该点已经走过，但是走不通
//5. 在走迷宫时，需要确定一个策略(方法) 下->右->上->左 , 如果该点走不通，再回溯
/**
* @param map 表示地图
* @param i 从哪个位置开始找
* @param j
* @return 如果找到通路，就返回true, 否则返回false
*/
public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) {
if (map[6][5] == 2) { // 通路已经找到ok
return true;
} else {
if (map[i][j] == 0) { //如果当前这个点还没有走过
//按照策略 下->右->上->左 走
map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通.
if (setWay(map, i + 1, j)) {//向下走
return true;
} else if (setWay(map, i, j + 1)) { //向右走
return true;
} else if (setWay(map, i - 1, j)) { //向上
return true;
} else if (setWay(map, i, j - 1)) { // 向左走
return true;
} else {
//说明该点是走不通，是死路
map[i][j] = 3;
return false;
}
} else { // 如果map[i][j] != 0 , 可能是 1， 2， 3
return false;
}
}
}
//修改找路的策略，改成 上->右->下->左
public static boolean setWay2(int[][] map, int i, int j) {
if (map[6][5] == 2) { // 通路已经找到ok
return true;
} else {
if (map[i][j] == 0) { //如果当前这个点还没有走过
//按照策略 上->右->下->左
map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通.
if (setWay2(map, i - 1, j)) {//向上走
return true;
} else if (setWay2(map, i, j + 1)) { //向右走
return true;
} else if (setWay2(map, i + 1, j)) { //向下
return true;
} else if (setWay2(map, i, j - 1)) { // 向左走
return true;
} else {
//说明该点是走不通，是死路
map[i][j] = 3;
return false;
}
} else { // 如果map[i][j] != 0 , 可能是 1， 2， 3
return false;
}
}
}
}
输出：
地图的情况
1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1
小球走过，并标识过的 地图的情况
1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 2 2 2 1
1 0 0 0 0 2 1
1 1 1 0 0 2 1
1 0 0 0 0 2 1
1 0 0 0 0 2 1
1 0 0 0 0 2 1
1 1 1 1 1 1 1
六、递归-八皇后问题（回溯算法）
6.1 问题介绍
八皇后问题, 是一个古老而著名的问题, 是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯 1848 年提出: 在 8 × 8 8 \times 8 8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后, 使其不能互相攻击, 即: 任意两个皇后都不能处于同一行、 同一列或同一斜线上, 问有多少种摆法(92)。
6.2 思路分析
1）第一个皇后先放第一行第一列
2) 第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否
O
K
\mathrm{OK}
OK, 如果不
O
K
\mathrm{OK}
OK, 继续放在第二列、第三列、依次把所有列都 放完, 找到一个合适
3）继续第三个皇后, 还是第一列、第二列”…直到第 8 个皇后也能放在一个不冲突的位置, 算是找到了一个正确 解
4）当得到一个正确解时, 在栈回退到上一个栈时, 就会开始回溯, 即将第一个皇后, 放到第一列的所有正确解, 全部得到.
5）然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行
1
,
2
,
3
,
4
1,2,3,4
1,2,3,4 的步骤
6) 示意图:
说明
理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘, 但是实际上可以通过算法, 用一个一维数组即可解决问题. arr [ 8 ] = [8]= [8]= { 0 , 4 , 7 , 5 , 2 , 6 , 1 , 3 } / / \{0,4,7,5,2,6,1,3\} / / {0,4,7,5,2,6,1,3}// 对应 arr 下标 表示第几行, 即第几个皇后, arr [ i ] = val \operatorname{arr}[i]=\operatorname{val} arr[i]=val, val 表示第 i + 1 \mathrm{i}+1 i+1 个皇后, 放在第 i + 1 \mathrm{i}+1 i+1 行的第 v a l + 1 \mathrm{val}+1 val+1 列
5.3 Java代码实现
public class EightQueensProblem {
public static void main(String[] args) {
//测试一把 ， 8皇后是否正确
EightQueensProblem eightQueensProblem = new EightQueensProblem();
eightQueensProblem.check(0);
System.out.printf("一共有%d解法\n", count);
System.out.printf("一共判断冲突的次数%d次\n", judgeCount); // 1.5w
}
//定义一个max表示共有多少个皇后
int max = 8;
//定义数组array, 保存皇后放置位置的结果,比如 arr = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
int[] array = new int[max];
static int count = 0;
static int judgeCount = 0;
//编写一个方法，放置第n个皇后
//特别注意： check 是 每一次递归时，进入到check中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，因此会有回溯
private void check(int n) {
if (n == max) { //n = 8 , 其实8个皇后就既然放好
print();
return;
}
//依次放入皇后，并判断是否冲突
for (int i = 0; i < max; i++) {
//先把当前这个皇后 n , 放到该行的第1列
array[n] = i;
//判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突
if (judge(n)) { // 不冲突
//接着放n+1个皇后,即开始递归
check(n + 1); //
}
//如果冲突，就继续执行 array[n] = i; 即将第n个皇后，放置在本行得 后移的一个位置
}
}
//查看当我们放置第n个皇后, 就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突
/**
* @param n 表示第n个皇后
* @return
*/
private boolean judge(int n) {
judgeCount++;
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 说明
//1. array[i] == array[n] 表示判断 第n个皇后是否和前面的n-1个皇后在同一列
//2. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) 表示判断第n个皇后是否和第i皇后是否在同一斜线
// n = 1 放置第 2列 1 n = 1 array[1] = 1
// Math.abs(1-0) == 1 Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1
//3. 判断是否在同一行, 没有必要，n 每次都在递增
if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) {
return false;
}
}
return true;
}
//写一个方法，可以将皇后摆放的位置输出
private void print() {
count++;
System.out.print("第" + count + "种解法:\t");
for (int j : array) {
System.out.print(j + " ");
}
System.out.println();
}
}
输出：
第1种解法: 0 4 7 5 2 6 1 3
第2种解法: 0 5 7 2 6 3 1 4
第3种解法: 0 6 3 5 7 1 4 2
第4种解法: 0 6 4 7 1 3 5 2
第5种解法: 1 3 5 7 2 0 6 4
第6种解法: 1 4 6 0 2 7 5 3
第7种解法: 1 4 6 3 0 7 5 2
第8种解法: 1 5 0 6 3 7 2 4
第9种解法: 1 5 7 2 0 3 6 4
第10种解法: 1 6 2 5 7 4 0 3
第11种解法: 1 6 4 7 0 3 5 2
第12种解法: 1 7 5 0 2 4 6 3
第13种解法: 2 0 6 4 7 1 3 5
第14种解法: 2 4 1 7 0 6 3 5
第15种解法: 2 4 1 7 5 3 6 0
第16种解法: 2 4 6 0 3 1 7 5
第17种解法: 2 4 7 3 0 6 1 5
第18种解法: 2 5 1 4 7 0 6 3
第19种解法: 2 5 1 6 0 3 7 4
第20种解法: 2 5 1 6 4 0 7 3
第21种解法: 2 5 3 0 7 4 6 1
第22种解法: 2 5 3 1 7 4 6 0
第23种解法: 2 5 7 0 3 6 4 1
第24种解法: 2 5 7 0 4 6 1 3
第25种解法: 2 5 7 1 3 0 6 4
第26种解法: 2 6 1 7 4 0 3 5
第27种解法: 2 6 1 7 5 3 0 4
第28种解法: 2 7 3 6 0 5 1 4
第29种解法: 3 0 4 7 1 6 2 5
第30种解法: 3 0 4 7 5 2 6 1
第31种解法: 3 1 4 7 5 0 2 6
第32种解法: 3 1 6 2 5 7 0 4
第33种解法: 3 1 6 2 5 7 4 0
第34种解法: 3 1 6 4 0 7 5 2
第35种解法: 3 1 7 4 6 0 2 5
第36种解法: 3 1 7 5 0 2 4 6
第37种解法: 3 5 0 4 1 7 2 6
第38种解法: 3 5 7 1 6 0 2 4
第39种解法: 3 5 7 2 0 6 4 1
第40种解法: 3 6 0 7 4 1 5 2
第41种解法: 3 6 2 7 1 4 0 5
第42种解法: 3 6 4 1 5 0 2 7
第43种解法: 3 6 4 2 0 5 7 1
第44种解法: 3 7 0 2 5 1 6 4
第45种解法: 3 7 0 4 6 1 5 2
第46种解法: 3 7 4 2 0 6 1 5
第47种解法: 4 0 3 5 7 1 6 2
第48种解法: 4 0 7 3 1 6 2 5
第49种解法: 4 0 7 5 2 6 1 3
第50种解法: 4 1 3 5 7 2 0 6
第51种解法: 4 1 3 6 2 7 5 0
第52种解法: 4 1 5 0 6 3 7 2
第53种解法: 4 1 7 0 3 6 2 5
第54种解法: 4 2 0 5 7 1 3 6
第55种解法: 4 2 0 6 1 7 5 3
第56种解法: 4 2 7 3 6 0 5 1
第57种解法: 4 6 0 2 7 5 3 1
第58种解法: 4 6 0 3 1 7 5 2
第59种解法: 4 6 1 3 7 0 2 5
第60种解法: 4 6 1 5 2 0 3 7
第61种解法: 4 6 1 5 2 0 7 3
第62种解法: 4 6 3 0 2 7 5 1
第63种解法: 4 7 3 0 2 5 1 6
第64种解法: 4 7 3 0 6 1 5 2
第65种解法: 5 0 4 1 7 2 6 3
第66种解法: 5 1 6 0 2 4 7 3
第67种解法: 5 1 6 0 3 7 4 2
第68种解法: 5 2 0 6 4 7 1 3
第69种解法: 5 2 0 7 3 1 6 4
第70种解法: 5 2 0 7 4 1 3 6
第71种解法: 5 2 4 6 0 3 1 7
第72种解法: 5 2 4 7 0 3 1 6
第73种解法: 5 2 6 1 3 7 0 4
第74种解法: 5 2 6 1 7 4 0 3
第75种解法: 5 2 6 3 0 7 1 4
第76种解法: 5 3 0 4 7 1 6 2
第77种解法: 5 3 1 7 4 6 0 2
第78种解法: 5 3 6 0 2 4 1 7
第79种解法: 5 3 6 0 7 1 4 2
第80种解法: 5 7 1 3 0 6 4 2
第81种解法: 6 0 2 7 5 3 1 4
第82种解法: 6 1 3 0 7 4 2 5
第83种解法: 6 1 5 2 0 3 7 4
第84种解法: 6 2 0 5 7 4 1 3
第85种解法: 6 2 7 1 4 0 5 3
第86种解法: 6 3 1 4 7 0 2 5
第87种解法: 6 3 1 7 5 0 2 4
第88种解法: 6 4 2 0 5 7 1 3
第89种解法: 7 1 3 0 6 4 2 5
第90种解法: 7 1 4 2 0 6 3 5
第91种解法: 7 2 0 5 1 4 6 3
第92种解法: 7 3 0 2 5 1 6 4
一共有92解法
一共判断冲突的次数15720次
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