1413.矩形牛棚

1413. 矩形牛棚 - AcWing题库
难度：中等
时/空限制：1s / 256MB
总通过数：1914
总尝试数：3823
来源： usaco training 6.1
算法标签 单调栈

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题目内容

作为一个资本家，农夫约翰希望通过购买更多的奶牛来扩大他的牛奶业务。
因此，他需要找地方建立一个新的牛棚。
约翰购买了一大块土地，这个土地可以看作是一个 R 行（编号 1∼R）C 列（编号 1∼C）的方格矩阵。
不幸的是，他发现其中的部分方格区域已经被破坏了，因此他无法在整个 R×C 的土地上建立牛棚。
经调查，他发现共有 P 个方格内的土地遭到了破坏。
建立的牛棚必须是矩形的，并且内部不能包含被破坏的土地。
请你帮约翰计算，他能建造的最大的牛棚的面积是多少。

输入格式

第一行包含三个整数 R,C,P。
接下来 P 行，每行包含两个整数 r,c，表示第 r 行第 c 列的方格区域内土地是被破坏的。

输出格式

输出牛棚的最大可能面积。

数据范围

1≤R,C≤3000,
0≤P≤30000,
1≤r≤R,
1≤c≤C

输入样例：

3 4 2
1 3
2 1

输出样例：

6

题目解析

行数和列数都是在3000，整个矩阵的大小就是3000的平方，将近1000万的数据量
需要将时间复杂度控制在$O(nm)$，跟整个矩阵的方格数呈线性关系

枚举

枚举左右边界，再把上下边界枚举出来，再判断中间的格子是不是都没有被破坏
左右边界，n^{2，上下边界n}2，中间的格子数量n^2，时间复杂度是$O(n^6)$

优化

求中间格子里有没有坏方块，可以用二维前缀和，就不需要枚举了，直接算一下中间的总和是不是0就可以了
如果被破坏的话，就是1；没被破坏，就是0
用二维前缀和可以优化掉一个n^2

考虑能不能枚举少一些的边

可以先用$O(n)$枚举下边界，下边界确定之后，可以预处理一下，每一列都可以求一下往上最多有多少块没有被连续破坏的方块
这样就可以得到一个直方图，求这个直方图中的最大矩形
可以用单调栈，做到$O(n)$的计算量
总共就是$O(n^2)$

单调栈

用$O(n)$的时间预处理出来每个数左边第一个比它小的数，以及每个数右边第一个比它小的数

为什么可以用单调栈求解

在此基础上枚举一下上边界，矩形的上边界一定会取直方图的上面的一条边，可以依次枚举一下到底取哪一个小长条的上面的边
当枚举到其中一条边时，上下边界就确定了，接下来考虑左右边界，左边如果能延伸，就一直往左边延伸，知道延伸到左边第一个比当前的高度低的方块为止，有边界也是

上下边界确定之后，左边边界就等于左边第一个比它矮的长条右边这条边，右边边界就是右边第一个比当前矮的长条的左边这一条边
因此只要对于每一个长条，预处理出来左边第一个比它矮的长条，和右边第一个比它矮的长条，就可以知道左右边界了，进而就可以知道矩形的宽度了
就可以知道当前的最大面积是多少

高度预处理，每一列的高度都是独立的，所以可以按列预处理，通过递推的方法

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 3010;

int n, m, P;
int g[N][N], h[N][N];  
//g表示每个位置有没有被破坏，h表示每个格子往上数最多可以数多少个没有被破坏的矩形
int stk[N], top;   //定义一个单调栈
int l[N], r[N];   //存一下左右第一个比它小的数

//确定下边界之后，如果求最大的面积
int work(int h[])
{
	//定义两个哨兵，最左边再画一个高度是-1，右边也是，这样对于每个格子，即使高度是0，左右也会存在一个比它小的，这样不需要特判边界
	h[0] = h[m + 1] = -1;
	top = 0;   //单调栈的栈先初始化为0
	//预处理左边
	stk[++ top] = 0;  //把左边界加进去
	for (int i = 1; i <= m; i ++)
	{
		//栈顶元素大于等于当前元素，就把栈顶元素弹出
		while (h[stk[top]] >= h[i]) top --;
		//左边第一个比当前元素小的元素就是栈顶元素
		l[i] = stk[top];
		//将当前元素加到栈当中
		stk[++ top] = i;
	}
	//同理预处理右边
	top = 0;
	stk[++ top] = m + 1;
	for (int i = m; i; i --)
	{
		while (h[stk[top]] >= h[i]) top --;
		r[i] = stk[top];
		stk[++ top] = i;
	}

	//定义一下答案
	int res = 0;
	//枚举一下最高点
	for (int i = 1; i <= m; i ++)
		res = max(res, h[i] * (r[i] - l[i] - 1));
	return res;
}

int main()
{
	//读入行数列数和被破坏矩形的数量
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &P);
	//接下来读入每一个被破坏的位置
	while (P --)
	{
		int x, y;
		scanf("%d%d", &x, &y);
		g[x][y] = 1;   //如果被破坏的话，标记成1
	}

	//预处理h数组
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		for (int j = 1; j <= m; j ++)
			//如果当前的格子没有被破坏
			if (!g[i][j])
				h[i][j] = h[i - 1][j] + 1;

	//定义答案
	int res = 0;
	//枚举一下下边界
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		res = max(res, work(h[i]));

	printf("%d\n", res);

	return 0;
}