Java实现二叉树(上)

news2024/10/7 0:09:50

1.树型结构

1.1树型结构的概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的

1.2树型结构的特点

1.有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

2.除根结点外，其余结点被分成 M(M > 0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 ...... 、 Tm ，其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继

3.树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2.树

2.1树的概念

在了解了树型结构之后，我们来讲下树的相关知识

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

2.2树与非树

如何判断该结构是否为树呢？

这里我们就要根据树的特点来判断:

1.子树是不相交的

2.除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点

3.一颗N个节点的树有N-1条边

2.3树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

   static class TreeNode{
        public char val;
        public TreeNode left;//左孩子
        public TreeNode right;//有孩子

        public TreeNode(char val){
            this.val=val;
        }
    }

3.二叉树

3.1二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

根据上图，我们可以看出

1.二叉树不存在度大于2的节点

2.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

3.2特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。

要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3.3二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)(i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1)上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

3.4二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式

    //孩子表示法
    class Node {
        int val;//数据域
        Node left;//左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
        Node right;//右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    }

    //孩子双亲表示法
    class Node {
        int val; // 数据域
        Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
        Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
        Node parent; // 当前节点的根节点
    }

根据该图，我们发现可以通过递归的方式实现二叉树

3.5二叉树的遍历

遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。

如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式
NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点

3.5.1前中后序遍历

    //前序遍历
    public void preOrder(TreeNode root){
        if(root==null){
            return;
        }
        System.out.println(root.val+" ");
        //递归遍历左子树
        preOrder(root.left);
        //递归遍历右子树
        preOrder(root.right);
    }

    //中序遍历
    public void inOrder(TreeNode root){
        if(root==null){
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.println(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }

    //后序遍历
    public void postOrder(TreeNode root){
        if(root==null){
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.println(root.val+" ");
    }