一篇搞定AVL树+旋转【附图详解旋转思想】

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一.AVL 树

1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。（上章提过）
所以就有人发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

AVL树的条件：
一棵AVL树可以是空树，是具有以下性质的二叉搜索树：
1.它的左右子树都是AVL树
2.左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1 (-1/0/1)(如下图)（这里讨论的该节点的平衡因子=右子树高度-左子树高度）

注意: 下图的平衡因子=左子树高度-右子树高度
在这里插入图片描述
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 $O(log_2 n)$ ，搜索时间复杂度O( $log_2 n$ )。

1.2 AVL树节点的定义

                                //树节点的定义
template<class K,class V>
struct AVLNode
{ 
	AVLNode<K, V>* _left;        //存储左节点
	AVLNode<K, V>* _right;       //存储右节点
	AVLNode<K, V>* _parent;      //存储父亲
	pair<K,V> _kv;               //存储数据
	int _bl;                     //平衡因子

	AVLNode(pair<K, V>& kv)      //构造函数
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bl(0)     
	{}
};

1.3 AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式插入新节点
调整节点的平衡因子

平衡因子的处理方法：

Cur插入后，Parent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，Parent 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：

如果Cur插入到Parent的左侧，只需给Parent的平衡因子-1即可
如果Cur插入到Parent的右侧，只需给Parent的平衡因子+1即可

此时：Parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1，正负2

如果Parent的平衡因子为0，说明插入之前Parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足 AVL树的性质，插入成功。
如果Parent的平衡因子为正负1，说明插入前Parent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以Parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新。
如果Parent的平衡因子为正负2，则Parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理。

【旋转代码在下面讲解后】
实现代码：

bool insert(pair<K,V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
	}

	//找插入位置
	Node* parent = nullptr;   //记录插入位置的父亲，方便插入后链接
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv > kv)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_kv < kv)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	//到这里就说明找到插入位置了，下面就开始插入了
	//判断插在父亲的左边还是右边
	if (cur == parent->left)             
	{
		cur = new Node(kv);      
		parent->_left = cur;
		cur->_parent = parent;
		cur->_parent->_bl--;       //如果是在左边插入，则--平衡因子
	}
	else if (cur == parent->right)
	{
		cur = new Node(kv);
		parent->_right = cur;
		cur->_parent = parent;
		cur->_parent->_bl++;      //如果是在右边插入，则++平衡因子
	}
	//调节上面节点的平衡值
	while (parent)
	{
		//情况1：插入节点后父亲的平衡因子改变
		if (parent->_bl == 1 || parent->_bl == -1)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent = grandfather->_left)
			{
				grandfather->_bl--;
				parent = grandfather;
			}
			else
			{
				grandfather->_bl++;
				parent = grandfather;
			}
		}
		//情况二：插入节点后父亲的平衡因子不改变
		else if (parent->_bl == 0)
		{
			break;
		}
		//情况三：父亲的平衡因子已经不满足AVL树的条件
		//需要旋转处理
		else if ()
		{
		/下面的旋转代码后面讲解后贴出
			//左单旋
			if ()
			{
				
			}
			//右单旋
			else if ()
			{
				
			}
			//左右双旋
			else if ()
			{
			}
			//右左双旋
			else if ()
			{
			}
		}
	}
}

1.4AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
单旋分为：左单旋与右单旋
双旋分为：左右双旋与右左双旋

单旋思想

如图
在这里插入图片描述
如上图，上面的左右单旋，要么是在parent的左子树高，并且左子树中左边高（左左高）
要么是parent的右子树高，并且右子树中右边高（右右高），这种及只需要旋转一边就可以解决不平衡的问题，哪边高，就往另一边旋转即可。

1.4.1左单旋

使用场景：
新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋。

如图：长方形代表高度为h的子树。

在这里插入图片描述
具体例子：

解析：

含义解析：

pNodeR = parent->_right
pNodeRL = pNodeR->_left

思想解析：
如上图，右单旋是让pNodeRL节点成为parent的右孩子，然后parent自己变为pNodeR的左孩子，pNodeR变成这个子树的根。

平衡因子的调节：
单旋后pNodeR与parent的平衡因子都变为0；

注意：
在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

50节点的左孩子可能存在，也可能不存在。
25可能是根节点，也可能是子树
如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点。
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树。

实现代码

//左单旋
void rotateL(Node* parent)
{
	Node* pparent = parent->_parent;  //记录所旋转根节点的父亲
	Node* pNodeR = parent->_right;   
	Node* pNodeRL = pNodeR->_left;
	if (pNodeRL)                //如果该旋转节点的右节点的左孩子存在
		parent->_right = pNodeRL;
	pNodeR->_left = parent;  

	//新的父节点的链接
	if (parent == _root)       //若parent是根节点
	{
		_root = pNodeR;
		pparent = nullptr;     
	}
	else                     //parent不是根节点
	{
		if (pparent->_left == parent)
		{
			pparent->_left = pNodeR;
		}
		else
		{
			pparent->_right = pNodeR;
		}
	}
	pNodeR->_bl = 0;
	parent->_bl = 0;
}

1.4.2右单旋

使用场景：
新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

如图
在这里插入图片描述
具体例子：

解析：

含义解析

pNodeL = parent->_Left
pNodeLR = pNodeL->_right

思想解析

如上图，右单旋是让pNodeLR节点变为parent的左孩子，然后parent自己变为pNodeL的右孩子，pNodeL变成这个子树的根。

平衡因子的调节：
单旋后pNodeL与parent的平衡因子都变为0；

在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

5节点的右孩子可能存在，也可能不存在。
8可能是根节点，也可能是子树
如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点。
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树。

代码实现

/右单旋
	void rotateR(Node* parent)
	{
		Node* pparent = parent->_parent;

		Node* pNodeL = parent->_left;
		Node* pNodeLR = pNodeL->_right;

		if (pNodeLR)
			parent->_left = pNodeLR;
		pNodeL->_right = parent;

		if (parent == _root)
		{
			_root = pNodeL;
			pparent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pparent->_left == parent)
			{
				pparent->_left = pNodeL;
			}
			else
			{
				pparent->_right = pNodeL;
			}
		}
		pNodeL->_bl = 0;
		parent->_bl = 0;
	}

双旋思想

如图
在这里插入图片描述
如上图，如果parent的左子树高，并且左子树中的右子树高（左右高），或则是parent的右子树高，并且右子树的左子树高（右左高），则旋转一次不能解决问题，所以就有了双旋的思想。

1.4.3左右单双旋

使用场景：

新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

如图
在这里插入图片描述
具体例子：

解析：
因为是parent的左子树中的右子树高，所以只需要先将parent的左子树进行左旋，将parent的左子树变为左边高，则旋转后parent整个树就变为了左左高，再用上面单旋的思想，parent以旋转点进行右旋即可；

else if (parent->_bl == -2 && parent->_left->_bl == 1)
{
				int bl = parent->_left->_right->_bl;
				Node* pNodeL = parent->_left;
				Node* pNodeLR = pNodeL->_right;

				rotateL(pNodeL);     //左旋转
				rotateR(parent);    //右旋转

				if (-1 == bl)      //分情况调节平衡因子
				{
					pNodeLR->_bl = 0;
					pNodeL->_bl = 0;
					parent->_bl = 1;
				}
				else if (1 == bl)
				{
					pNodeLR->_bl = 0;
					parent->_bl = 0;
					pNodeL->_bl = -1;
				}
				else
				{
					pNodeLR->_bl = 0;
					parent->_bl = 0;
					pNodeL->_bl = 0;
				}
}

1.4.4右左单旋

使用场景：
新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

如图
在这里插入图片描述
具体例子：

解析：

因为是parent的右子树中的左子树高，所以只需要先将parent的右子树进行右旋，将parent的右子树变为右边高，则旋转后parent整个树就变为了右右高，再用上面单旋的思想，parent以旋转点进行左旋即可；

代码实现

else if (parent->_bl == 2 && parent->_right->_bl == -1)
{
				Node* pNodeR = parent->_right;
				Node* pNodeRL = pNodeR->_left;
				int bl = pNodeRL->_bl;

				rotateR(pNodeR);   //先右旋
				rotateL(parent);   //再左旋

				pNodeRL->_bl = 0;    //分情况调节平衡因子
				if (1 == bl)
				{
					parent->_bl = -1;
					pNodeR->_bl = 0;
				}
				else if (-1 == bl)
				{
					parent->_bl = 0;
					pNodeR->_bl = 1;
				}
				else
				{
					parent->_bl = 0;
					pNodeR = 0;
				}
}

双旋后平衡因子的调节

我们从结果来看，忽略过程，从图中可以得到
在这里插入图片描述
解析：
实际上就是将60的左孩子给了30的右孩子，把60的有孩子给了90的左孩子。
所以可以得出：
平衡因子的改变与60的平衡因子有关（与它的左右孩子有关）。
情况分为3种：60的平衡因子为（1，0，-1）

下图解为：右左双旋
当为1时：
在这里插入图片描述
结论：

pNodeRL的平衡因子为0
parent–>-1
pNodeR–>0

当为0时：
在这里插入图片描述
结论：

pNodeRL的平衡因子为0
parent–>0
pNodeR–>0

当为-1时：
在这里插入图片描述
结论：

pNodeRL的平衡因子为0
parent–>0
pNodeR–>1

左右双旋的图解
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

旋转总结：

假如以Parent为根的子树不平衡，即Parent的平衡因子为2或者-2
分以下情况考虑：

Parent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pNodeR 当pNodeR的平衡因子为1时，执行左单旋当pNodeR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
Parent的平衡因子为-2，说明Parent的左子树高，设Parent的左子树的根为pNodeL 当pNodeL的平衡因子为-1是，执行右单旋当pNodeL的平衡因子为1时，执行左右双旋
旋转完成后，原Parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

1.5 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
验证其为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
节点的平衡因子是否计算正确。

代码实现
方法一：

	int Hight(Node* root)    //计算该节点的高度
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return 0;
		}
		int Hightleft = Hight(root->_left);
		int Hightright = Hight(root->right);

		return Hightleft > Hightright ? Hightleft + 1 : Hightright + 1;  //返回左右子树高的那一个
	}

	bool _isbalance(Node* root)
	{
		if(root==nullptr)
		{
			return true;
		}
		int hightleft = Hight(root->_left);    //计算左右子树的高度
		int hightright = Hight(root->_right);

		if (abs(hightright - hightleft) >= 2)   //判断高度差
		{
			return flase;
		}
		if (hightright - hightleft !=root->_bl)    //判断计算结果是否与该节点的平衡因子相等
		{
			cout << root->_kv->first<<':' << "异常" << endl;
			return false;
		}

		return isbalance(root->_left) && isblance(root->_right);  //递归
	}

方法一有大量的重复计算（每一个节点都需要重新计算高度）
方法二更优

方法二：

	bool _isbalance(Node* root,int& height)   //height记录高度
	{
		if (root == nullptr)
		{
			height = 0;
			return true;
		}
		if (!isbalance(root->_left，height) || !isblance(root->_right，height))
		{
			return false;
		}
		int heightleft = 0;
		int heightright = 0;

		if (abs(heightright - heightleft) >= 2)    //如果高度差超过1，则不平衡，返回false
		{
			return false;
		}
		if (heightright - heightleft != root->_bl)   //检查该节点的平衡因子是否正确
		{
			cout << root->_kv->first << ':' << "异常" << endl;
			return false;
		}
		height = heightleft > heightright ? heightleft + 1 : heightright + 1;   //计算height的值

		return true;
	}
	bool isbalance()
	{
		return _isbalance(_root);
	}

1.6 AVL树的性能分析

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 $log_2 (N)$ 。
但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。