保研复习概率论1

news2024/10/6 14:31:15

如果一个试验满足试验可以在相同的条件下重复进行、试验所有可能结果明确可知（或者是可知这个范围）、每一次试验前会出现哪个结果事先并不确定，那么试验称为随机试验。

在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件，简称事件。随机事件本质是一个事件集合，总是由若干个基本事件构成。

一次试验的可能结果称为样本点，样本点组成的全体集合为样本空间。由一个样本点构成的事件称为基本事件。

事件A与B相容就是说，事件A和事件B存在一些同时发生的事件。事件互斥是说事件A与B不存在同时发生的事件。事件对立是指事件A不发生的事件称为事件A的逆事件或者对立事件。对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件。

如果 $\cup _{i=1}^nA_i=\Omega$ （样本空间）并且 $A_iA_j=\varnothing$ ，则称有限个事件 $A_1,A_2,A_3...,A_n$ 构成一个完备事件组。

描述性定义：通常将事件A发生的可能性大小的度量称为事件A发生的概率，记为P(A)

统计性定义：统计性定义提供一种用频率估计概率的方法，在相同条件下做重复试验，事件A出现的次数k和总的试验次数n之比k/n称为事件A在这n次试验中出现的频率。当n充分大时，频率将趋近于某个常数p，这个常数p就称为这个事件A的概率。

公理化定义：设随机试验的样本空间为 $\Omega$ ，如果对每一个事件A都有一个确定的实数P(A)，且事件函数满足P(A)>=0，P( $\Omega$ )=1，可列可加性则称P(A)为A的概率。

随机试验的样本空间满足（1）只有有限个样本点（基本事件）（2）每个样本点（基本事件）发生的可能性都一样。

随机试验的样本空间满足（1）样本空间 $\Omega$ 是一个可度量的有界区域（2）每个样本点发生的可能性都一样，即样本点落入 $\Omega$ 的某一可度量的子区域S的可能性大小与S的集合度量成正比，而与S的位置及形状无关。

（1）有界性：对于任一事件A，有0<=P(A)<=1，且P(空)=0,P(A)=1

（2）单调性：设A、B是两个事件，如果B包含A，则有P(B)>=P(A)

全概率公式用于计算，某个结果B发生的可能性大小，这个结果的发生与多个“原因”Ai相联系。贝叶斯公式是在“结果”B发生的条件下，探求这一结果发生的原因，即Ai发生的可能性大小。

设A，B为两个事件，如果P(AB)=P(A)*P(B)，则称A与B相互独立

在同样条件下独立重复地进行n次完全相同独立的试验，即每次试验的结果以及可能发生的概率不变，每次试验只有两个结果A和 $\bar{A}$ ，则这种模型称为n重伯努利模型。X表示n重伯努利概型中事件A发生的次数，则X服从二项分布B(n,p)。

表示随机试验各种结果的实值单值函数，随机试验不论是否与数量相关都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。

x是一个实数，X是一个随机变量，则称F(x)=P{X<=x}为随机变量X的分布函数，则称X服从F(x)分布。主要性质有：F(x)是单调不减函数，是右连续函数，负无穷=0且正无穷=1

如果随机变量X只可能取有限个或可列无限个值x1,x2,x3...，则称x为离散型随机变量。

一个随机变量X的概率分布能被一个非负函数fX（称之为概率密度函数 probablility density function PDF）描述，满足

fX>=0,对fX在负无穷到正无穷上积分=1。对任意实数c有P{X=c}=0。

概率的几何意义：对于连续型随机变量落入某一区间的概率即{a<X<b}等于该区间上概率密度曲线下曲边梯形的面积。

Bernoulli 0-1分布B(1,p)：概率分布为P{X=1}=p,P{X=0}=1-p,则称X服从参数为p的0-1分布。
BinomialDistribution 二项分布B(n,p)：概率分布为 ，则称X服从参数为(n,p)的二项分布。
Poissondistribution泊松分布P(λ)：概率分布为
注意：当n>=20，p<=0.05时，可以用泊松近似公式λ=np逼近二项分布。
Geometric distribution几何分布：概率分布为 $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p(k=1,2,...,0<p<1)$ ，则称X服从参数为p的几何分布。
HypergeometricDistribution超几何分布：概率分布为，则称X服从参数为(n,N,M)的超几何分布。