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给你一个正整数 p 。你有一个下标从 $1$ 开始的数组 $nums$ ，这个数组包含范围 $[1,2^p-1]$ 内所有整数的二进制形式（两端都 包含）。你可以进行以下操作 任意 次：

从 $nums$ 中选择两个元素 $x$ 和 $y$ 。
选择 $x$ 中的一位与 $y$ 对应位置的位交换。对应位置指的是两个整数 相同位置 的二进制位。
比方说，如果 $x=1101$ 且 $y=0011$ ，交换右边数起第 $2$ 位后，我们得到 $x=1111$ 和 $y=0001$ 。

请你算出进行以上操作 任意次 以后，$nums$ 能得到的 最小非零 乘积。将乘积对 $10^9+7$ 取余 后返回。

注意：答案应为取余 之前 的最小值。

示例 1：
输入：p = 1
输出：1
解释：nums = [1] 。
只有一个元素，所以乘积为该元素。

示例 2：
输入：p = 2
输出：6
解释：nums = [01, 10, 11] 。
所有交换要么使乘积变为 0 ，要么乘积与初始乘积相同。
所以，数组乘积 1 * 2 * 3 = 6 已经是最小值。

示例 3：
输入：p = 3
输出：1512
解释：nums = [001, 010, 011, 100, 101, 110, 111]

• 第一次操作中，我们交换第二个和第五个元素最左边的数位。
• 结果数组为 [001, 110, 011, 100, 001, 110, 111] 。
• 第二次操作中，我们交换第三个和第四个元素中间的数位。
• 结果数组为 [001, 110, 001, 110, 001, 110, 111] 。

数组乘积 1 * 6 * 1 * 6 * 1 * 6 * 7 = 1512 是最小乘积。

提示：
$1\le p\le 60$

思路

首先我们要明确一点：通过交换位操作，我们希望得到的是一个最小非零乘积。接下来我们来分析一下贪心策略：

对于两个数$x$和$y$，如果我们将$y$中除了最低位以外的所有位都赋值为1，那么交换后的结果将会使得乘积变小且非零。
为什么会这样呢？假设$x$的参与交换的位是$000$，$y$的参与交换的位是$111$，交换后的结果中，$x$将变成$x+2^k$，$y$将变成$y^{\prime }$，此时，$(x+2^k)\times y^{\prime }=x\times y^{\prime }+y^{\prime }\times 2^k$。对比之前的乘积，我们可以发现只要$y^{\prime }<x$，交换后的乘积就会变小。因此，我们可以不断地将$y$中的$111$与$x$中的$000$交换，使得$y$变成$111$，从而使得乘积变得最小。
基于这个思路，我们可以构造数组$nums$，将$[1,2^p-1]$中的所有整数分为两组：小于$2^p-1$的为一组$A$，其余的为另一组$B$。对于$B$中的元素，除了$2^p-1$以外，其余的数都可以和$A$中的数一一配对，使得每对的和为$2^p-1$。然后，我们对每一对进行交换操作，使得$B$中的数变为$111$。这样一来，我们得到了一个数组$nums$，其中每一对的乘积都是$2^p-2$，最终的乘积就是$(2^p-1)\times (2^p-2{)}^{2^{p-1}-1}$。

代码

class Solution {
    int mod = 1000000007;
    public: int minNonZeroProduct(int p) {
        long x = (1L << p) - 1;
        return (int) (myPow((x - 1) % mod, x >> 1) * (x % mod) % mod);
    }
    long myPow(long a, long b) {
        long res = 1;
        while (b > 0) {
            if ((b & 1) == 1) res = res * a % mod;
            a = a * a % mod;
            b >>= 1;
        }
        return res;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度

构造数组$nums$的时间复杂度为$O(2^p)$，其中$2^p$为数组中元素的个数。
快速幂算法在计算$(2^p-2{)}^{2^{p-1}-1}$时的时间复杂度为$O(\log n)$，其中$n=2^p-2$。
因此，总的时间复杂度为$O(2^p+\log n)$。

空间复杂度

代码中只使用了常数额外的空间，因此空间复杂度为$O(1)$。

结果

总结

通过贪心策略和数学推导，我们得到了一个简洁高效的解决方案。贪心策略是通过寻找最小非零乘积的最优交换方式，从而使得乘积变得最小。数学推导则是基于贪心策略得出了最终的乘积公式，通过快速幂算法高效地计算出结果。整体来说，这个解决方案在时间和空间上都表现出了较高的效率。