我们创建如下的树状数组来辅助操作

该数组每个s[i]处于第几层取决于其二进制 最后低位 的1处于从右往左数第几列

显然所有奇数的最右边一位都是1 即其最低位的1 处于右边第一列

所以所有的奇数处于第一层

而2，6，10，14的最低位1处于右边第二列  所以这些数处于第二层 

8 的最低位1处于右数第三列 所以8处于第三列

以此类推 

该结构的好处在于  如果我们只修改单个元素 的值

只需要 logn 的次数就可以完成对单元素及其区间和的修改

例如 对3进行修改 

只需要三次操作 即可修改该元素  并且完成s[4] ,s[8],s[16]的前缀和的修改

而一般前缀和则需要修改 16次

至于想查看a[1-7]的和怎么办 此时只修改了s[4]并没有修改s[7]

这个疑问等会看我们的查询函数即可

先看修改的实现

我们在修改的时候往上一层 层层修改即可

使用 lowbit 函数返回查询数的最后一位1的大小

int lowbit(int x){

    return x&-x;
}

修改函数 

void change (int x,int k){
    while(x<=n){
        s[x]+=k;//上述例子的s[4],s[8],s[16]
        x+=lowbit(x);//依据层次不同 1 的最低位不同更换x的位置
        
    }
}

查询函数

我们想查询a[1]+a[2]+...+a[7]

如图只需s[7]+s[6]+s[4]即可

并且我们上面提到  虽然我们只修改了s[3],s[4]

但是我们此时算区间和的时候 加上了s[4]

所以仍然完成了对a[1]+a[2]+...+a[7]的区间和的修改

int query(int x){
    int res=0;
    while(x){
        res+=s[x];
        x-=lowbit(x);//根据我们建立层数的特性改变X
    }
    return res;    
}

完整代码

#include<iostream>

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<sstream>
using namespace std;
const int N=1e8+10;
int n,m;
int a[N],s[N];
int lowbit(int x){

    return x&-x;
}

void change (int x,int k){
    while(x<=n){
        s[x]+=k;
        x+=lowbit(x);
        
    }
}
int query(int x){
    int res=0;
    while(x){
        res+=s[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return res;    
}
int main(){
    /*for(int i=2;i<=16;i+=2){
        cout<<i<<"的二进制最后一位为"<<lowbit(i)<<endl;
    }*/ 
    
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        change(i,a[i]);
    }
    while(m--){
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        if(x==1){
            change(y,z);
        }else{
            cout<<query(z)-query(y-1)<<endl;
        }
    }
    
    return 0;
}