算法通识|选择排序（简单选择排序、堆排序）

news2024/12/23 1:47:29

Before Writing

内容参考懒猫老师请多支持。

1 选择排序

1-1 简单排序的原理

简单选择排序的主要思想是：每趟排序在当前待排序序列中选出关键码最小的记录，添加到有序序列中。

1-2 堆选择排序的原理

堆排序主要思想是：每次构造一个堆（二叉堆），将堆的根节点（最大值或最小值）添加到有序序列中。
将节点先按照大根堆或小根堆进行排序，这样在堆中的序列基本有序。后面再对该堆树进行调整就会加快效率。

1-2-1 堆的定义

堆是具有下列性质的完全二叉树：每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值（称为小根堆），或每个节点的值大于左右孩子节点的值（称为大根堆）。

小根堆

小根堆的根节点是所有节点的最小值。
较小的节点靠近根节点但不绝对。

大根堆

根节点的值是所有节点的最大值。
较大节点靠近根节点，但不绝对。

1-2-2 堆和序列的关系

将堆用顺序存储结构来存储，则堆对应一组序列。
比如对于完全二叉树：
- 节点序号为i，左孩子序号为2i，右孩子2i+1，双亲节点i/2

在这里插入图片描述

1-2-3 基本思想

首先将待排序的记录序列构造成一个堆，此时，选出了堆中所有记录的最大者，然后将他从堆中移出，并将剩余的元素在调整称为堆，这样又找出了次大的记录，一次类推，直到堆中只有一个记录。

1-2-4 关键问题

如何由一个无需序列构建一个堆（初始堆）
如何处理对顶记录
如何调整剩余记录，成为一个新堆（重建堆）

堆调整

在一棵完全二叉树中，根节点的左右子树均是堆，如何调整根节点，使整个完全二叉树成为一个堆？

示例一：当一个树的左右子树都是大根堆堆，将其调整为大根堆
在这里插入图片描述

也就是说，首先要将根节点的左右子树都调整称为大根堆（从下往上处理子树），然后再调整根节点（从上往下处理根节点）。
可以见得堆排序流程就是根节点和左右孩子节点进行交换，其算法描述为：

关键问题1

如何将一个无需序列构建称为一个堆呢？
sift函数被调用一次就完成一个子树的构建，需要用一个循环反复调用这个函数，才能把无需序列构建称为一个堆。

算法描述：

// 从下往上进行处理，最后一个叶子结点的序号是n，n/2就是除去叶子节点的最后一个根节点
for (k = n/2; k >= 1; k --) {
	sift(r, k, n);
}

最后一个节点（叶子）的序号是n，最后一个分支节点即为节点n的双亲，其序号是n/2。假如我们要调整一个堆，首先就调整左右子树进行处理，而最后一个叶子结点就是我们要处理的第一步。随后依次向上处理根节点也就是n/2 -> n/2 - 1 -> n/2 -2 -> ... ... -> 1直到最终的根节点，整体描述如下图：
在这里插入图片描述

关键问题23

对堆顶进行记录：我们通过关键问题1对初始堆进行了构建，这个初始堆的特点是堆顶的元素是所有元素中最大的，接下来我们可以取出堆顶元素（最大元素）。然后重新对剩余的堆进行维护就能得到一个新的堆，将这个新的堆顶元素取出（次大元素）。

不断重复上面这个过程，就可以不断取得堆顶元素，最后获得排序后的序列。

算法描述：

第k次处理堆顶是将堆顶记录r[1]与序列第n-k+1个记录r[n-k+1]交换。
r[1] <-> r[n-k+1]

// 元素个数为n，元素为r[]
void heapSort (int r[], int n) {
	// 对堆进行初始构建
	for (k = n/2; k >=1; k--) {
		sift(r[], k, n);
	}
	// 依次取出堆顶元素，并动态维护剩余堆
	for (k = 1; k < n; k++) {
		// 获取堆顶元素，放在最后
		switch(r[1], r[n-k+1]);
		// 对剩余元素进行维护
		sift(r[], 1, n-k);
	}
}

在这里插入图片描述

1-2-5 算法分析

堆进行构建的时候遍历了每一个元素for(int k = end/2; k >= 1; k--)，因此算法时间复杂度为O(n)。只是进行元素交换，空间复杂度为O(1)
对堆不断维护并构建的过程时，我们一共维护了n次，每次都要进行近O(log(n))次比较。算法时间复杂度为O(n*log(n))，由于使用的是值交换而非递归，空间复杂度较低可以近似看做O(1)。