【人工智能原理自学】梯度下降和反向传播：能改

news2025/1/6 20:04:45

😊你好，我是小航，一个正在变秃、变强的文艺倾年。
🔔笔记来自B站UP主Ele实验室的《小白也能听懂的人工智能原理》。
🔔本文讲解梯度下降和反向传播：能改，一起卷起来叭！

目录

  • 一、“挪”
  • 二、再“挪”
  • 三、梯度下降

一、“挪”

一步到位计算固然是好，但是非常消耗计算资源，抛物线最低点的寻找过程，其实不必一步到位，大可以采用一点点挪动的方式。
在这里插入图片描述
那么问题来了：该怎样挪呢？

机制如你，会想到用斜率判断：
在这里插入图片描述
我们知道最低点的斜率为0，当K > 0则，小球则向左挪动，当K < 0，则向右挪动。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
那么斜率怎么求呢？机制如你又想到求导！

在这里插入图片描述
接下来如何调整斜率，我们希望当W距离最低点比较远的时候，我们其实希望它能快一点，而逐渐接近最低点的时候，稳如老狗。

在这里插入图片描述

我们对上述想法进行代码实现：

豆豆数据集模拟：dataset.py

import numpy as np

def get_beans(counts):
	xs = np.random.rand(counts)
	xs = np.sort(xs)
	ys = [1.2*x+np.random.rand()/10 for x in xs]
	return xs,ys

使用固定步长下降算法：sgd_step.py

import dataset
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 豆豆数量m
m = 100
xs, ys = dataset.get_beans(m)

# 配置图像
plt.title("Size-Toxicity Function", fontsize=12)
plt.xlabel("Bean Size")
plt.ylabel("Toxicity")
plt.scatter(xs, ys)

w = 0.1
y_pre = w * xs
plt.plot(xs, y_pre)
plt.show()

step = 0.01
for _ in range(100):
    # 抛物线代价函数
    # e = x0^2 * w^2 + (-2x0y0) * w + y0^2
    # 斜率k = 2aw + b（求导）
    k = 2 * np.sum(xs ** 2) * w + np.sum(-2 * xs* ys)
    k = k / m
    if k > 0 :
        w = w - step
    else :
        w = w + step
    y_pre = w * xs
    # 绘制动态
    plt.clf() ## 清空窗口
    plt.scatter(xs, ys)
    plt.xlim(0, 1)
    plt.ylim(0, 1.2)
    plt.plot(xs, y_pre)
    plt.pause(0.01) # 暂停0.01秒

实验结果：
在这里插入图片描述
使用随机梯度下降算法：sgd.py

import dataset
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 豆豆数量m
m = 100
xs, ys = dataset.get_beans(m)

# 配置图像
plt.title("Size-Toxicity Function", fontsize=12)
plt.xlabel("Bean Size")
plt.ylabel("Toxicity")
plt.scatter(xs, ys)

w = 0.1
y_pre = w * xs
plt.plot(xs, y_pre)
plt.show()

for _ in range(100):
    for i in range(100):
        x = xs[i]
        y = ys[i]
        # 抛物线代价函数
        # e = x0^2 * w^2 + (-2x0y0) * w + y0^2
        # 斜率k = 2aw + b（求导）
        k = 2 * (x**2) * w + (-2 * x * y)
        # alpha为学习率
        alpha = 0.1
        w = w - alpha * k
        # 绘制动态
        plt.clf() ## 清空窗口
        plt.scatter(xs, ys)
        y_pre = w * xs
        plt.xlim(0, 1)
        plt.ylim(0, 1.2)
        plt.plot(xs, y_pre)
        plt.pause(0.01) # 暂停0.01秒

# 重新绘制散点图和预测曲线
# plt.scatter(xs, ys)
# y_pre = w * xs
# plt.plot(xs, y_pre)
# plt.show()

使用批量梯度下降算法：sgd_batch.py

import dataset
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 豆豆数量m
m = 100
xs, ys = dataset.get_beans(m)

# 配置图像
plt.title("Size-Toxicity Function", fontsize=12)
plt.xlabel("Bean Size")
plt.ylabel("Toxicity")
plt.scatter(xs, ys)

w = 0.1
y_pre = w * xs
plt.plot(xs, y_pre)
plt.show()

alpha = 0.01
for _ in range(100):
    # 抛物线代价函数
    # e = x0^2 * w^2 + (-2x0y0) * w + y0^2
    # 斜率k = 2aw + b（求导）
    k = 2 * np.sum(xs ** 2) * w + np.sum(-2 * xs* ys)
    k = k / m
    w = w - alpha * k
    y_pre = w * xs
    # 绘制动态
    plt.clf() ## 清空窗口
    plt.scatter(xs, ys)
    plt.xlim(0, 1)
    plt.ylim(0, 1.2)
    plt.plot(xs, y_pre)
    plt.pause(0.01) # 暂停0.01秒

二、再“挪”

而事实上，一个直线完整的函数 应该是：y = wx + b（截距）
在这里插入图片描述
我们得到的代价函数是这样的：
在这里插入图片描述)
现在我们给b留出一个维度：
在这里插入图片描述
我们会发现得到的是一个“碗”状的曲面：
在这里插入图片描述)

曲面的最低点是：
在这里插入图片描述)
现在我们的目标很明确了，如何求出该最低点（Wmin，Bmin）

我们在b=0处沿着W的方向切上一刀，得到一个开口向上的抛物线，很容易得到最低点：
在这里插入图片描述)
但是我们发现此刻曲线的最低点并不是曲面的最低点：
在这里插入图片描述)
那我们接着沿着b的方向切上一刀，得到一个开口向上的抛物线：
在这里插入图片描述)

我们把两个方向上的运动合为一个方向，这样我们完成了一次调整：

在这里插入图片描述)
在这里插入图片描述)
在这里插入图片描述)
我们分别对e函数有关w、b求偏导：
在这里插入图片描述)
在这里插入图片描述)
这样我们的整个过程可以总结为：

在这里插入图片描述)

我们对上述过程代码实现：

豆豆数据集模拟：dataset.py

import numpy as np

def get_beans(counts):
	xs = np.random.rand(counts)
	xs = np.sort(xs)
	ys = np.array([(0.7*x+(0.5-np.random.rand())/5+0.5) for x in xs])
	return xs,ys

豆豆毒性分布如下：
在这里插入图片描述)
代价函数（W为自变量）：cost_function_w.py

import dataset
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 从数据中获取随机豆豆
m = 100
xs, ys = dataset.get_beans(m)

# 配置图像
plt.title("Size-Toxicity Function", fontsize=12)
plt.xlabel('Bean Size')
plt.ylabel('Toxicity')

# 豆豆毒性散点图
plt.scatter(xs, ys)

# 预测函数
w = 0.1
b = 0.1
y_pre = w * xs + b

# 预测函数图像
plt.plot(xs, y_pre)

# 显示图像
plt.show()

# 代价函数
ws = np.arange(-1, 2, 0.1)
bs = np.arange(-2, 2, 0.1)

# 配置3D图像显示插件
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.set_zlim(0, 2)

for b in bs:  # 每次取不同的w
    es = []
    for w in ws:
        y_pre = w * xs + b
        # 得到w和b的关系
        e = (1 / m) * np.sum((ys - y_pre) ** 2)
        es.append(e)
    # plt.plot(ws,es)
    ax.plot(ws, es, b, zdir='y')

# 显示图像
plt.show()

实验结果：
在这里插入图片描述)
代价函数（B为自变量）：cost_function_b.py

import matplotlib.pyplot as plt
import dataset
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

#从数据中获取随机豆豆
m=100
xs,ys = dataset.get_beans(m)


#配置图像
plt.title("Size-Toxicity Function", fontsize=12)
plt.xlabel('Bean Size')
plt.ylabel('Toxicity')

# 豆豆毒性散点图
plt.scatter(xs, ys) 

#预测函数
w=0.1
b=0.1
y_pre = w*xs+b

#预测函数图像
plt.plot(xs,y_pre) 

#显示图像
plt.show()  




#代价函数
ws = np.arange(-1,2,0.1)
bs = np.arange(-2,2,0.1)


fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)

ax.set_zlim(0,2)

for w in ws:#每次取不同的w
	es = []	
	for b in bs:
		y_pre = w*xs+b
		#得到w和b的关系
		e = (1/m)*np.sum((ys-y_pre)**2)
		es.append(e)
	#plt.plot(ws,es) 
	figure = ax.plot(bs, es, w, zdir='y')


#显示图像
plt.show()

实验结果：
在这里插入图片描述)
当然我们也可以使用plot_surface函数绘制曲面绘制曲面版的：cost_function_surface.py

import matplotlib.pyplot as plt
import dataset
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

#从数据中获取随机豆豆
m=100
xs,ys = dataset.get_beans(m)




#配置图像
plt.title("Size-Toxicity Function", fontsize=12)
plt.xlabel('Bean Size')
plt.ylabel('Toxicity')

# 豆豆毒性散点图
plt.scatter(xs, ys) 

#预测函数
w=0.1
b=0.1
y_pre = w*xs+b

#预测函数图像
plt.plot(xs,y_pre) 

#显示图像
plt.show()  



#代价函数
ws = np.arange(-1,2,0.1)
bs = np.arange(-2,2,0.1)

#把ws和bs变成一个网格矩阵
#这个网格矩阵的含义可以参考这篇文章:
#https://blog.csdn.net/lllxxq141592654/article/details/81532855
ws,bs = np.meshgrid(ws,bs)
print(ws)#打印出来瞅瞅
print(bs)


es = 0
#因为ws和bs已经变成了网格矩阵了
#一次性带入全部计算，我们需要一个一个的算
for i in range(m):
	y_pre = ws*xs[i]+bs#取出一个样本在网格矩阵上计算，得到一个预测矩阵
	e = (ys[i]-y_pre)**2#标准值减去预测（矩阵）得到方差矩阵
	es += e#把单样本上的方差矩阵不断累加到es上
es = es/m#求平均值，这样es方差矩阵每个点的位置就是对应的ws和bs矩阵每个点位置预测得到的方差



fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)

ax.set_zlim(0,2)

#plot_surface函数绘制曲面
#cmap='rainbow表示彩虹图（用不同的颜色表示不同值）
ax.plot_surface(ws, bs, es, cmap='rainbow')

#显示图像
plt.show()

实验结果：
在这里插入图片描述)

使用随机梯度下降算法：sgd_w_b.py

import dataset
import matplotlib.pyplot as plt

# 豆豆数量m
m = 100
xs, ys = dataset.get_beans(m)

# 配置图像
plt.title("Size-Toxicity Function", fontsize=12)
plt.xlabel("Bean Size")
plt.ylabel("Toxicity")
plt.scatter(xs, ys)

w = 0.1
b = 0.1
y_pre = w * xs + b
plt.plot(xs, y_pre)
plt.show()

# alpha为学习率
alpha = 0.01
# 训练500次
for _ in range(500):
    for i in range(100):
        x = xs[i]
        y = ys[i]
        # 抛物线代价函数
        # 斜率k（求导）
        dw = 2 * (x ** 2) * w + 2 * x * b - 2 * x * y
        db = 2 * b + 2 * x * w - 2 * y

        w = w - alpha * dw
        b = b - alpha * db
    # 训练一次后刷新
    # 绘制动态
    plt.clf()  ## 清空窗口
    plt.scatter(xs, ys)
    y_pre = w * xs + b
    plt.xlim(0, 1)
    plt.ylim(0, 1.2)
    plt.plot(xs, y_pre)
    plt.pause(0.01)  # 暂停0.01秒

实验结果：
在这里插入图片描述)

对于单个样本的曲面实际上是一个U型的特殊碗

三、梯度下降

训练神经网络的时候，基本就是三个步骤：

在这里插入图片描述)

  1. 正向计算网络输出；
  2. 计算Loss；
  3. 反向传播，计算Loss的梯度来更新参数(即梯度下降)。

在这里插入图片描述)

在小的训练集上训练的时候，通常每次对所有样本计算Loss之后通过梯度下降的方式更新参数(批量梯度下降)，但是在大的训练集时，这样每次计算所有样本的Loss再计算一次梯度更新参数的方式效率是很低的。

因此梯度下降常常分为：随机梯度下降、mini-batch梯度下降以及batch梯度下降。

随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）：

在这里插入图片描述
随机梯度下降每次迭代(iteration)计算单个样本的损失并进行梯度下降更新参数，这样在每轮epoch就能进行 m 次参数更新。

优点:

  • 参数更新速度大大加快，因为计算完每个样本的Loss都会进行一次参数更新

缺点:

  • 计算量大且无法并行。批量梯度下降能够利用矩阵运算和并行计算来计算Loss，但是SGD每遍历到一个样本就进行梯度计算和参数下降，无法进行有效的并行计算。

  • 容易陷入局部最优导致模型准确率下降。因为单个样本的Loss无法代替全局Loss，这样计算出来的梯度方向也会和全局最优的方向存在偏离。但是由于样本数量多，总体的Loss会保持降低，只不过Loss的变化曲线会存在较大的波动。像下图这样：

    在这里插入图片描述

批量梯度下降（Batch Gradient Descent）:

批量梯度下降就是每个epoch计算所有样本的Loss，进而计算梯度进行反向传播、参数更新：

在这里插入图片描述
m 为训练集样本数，l 为损失函数，ϵ 表示学习率

优点：

  • 每个epoch通过所有样本来计算Loss，这样计算出的Loss更能表示当前分类器在于整个训练集的表现，得到的梯度的方向也更能代表全局极小值点的方向。如果损失函数为凸函数，那么这种方式一定可以找到全局最优解。

缺点：

  • 每次都需要用所有样本来计算Loss，在样本数量非常大的时候即使也只能有限的并行计算，并且在每个epoch计算所有样本Loss后只更新一次参数，即只进行一次梯度下降操作，效率非常低。

小批量梯度下降（min-Batch Gradient Descent）：

在这里插入图片描述
小批量梯度下降将所有的训练样本划分到 batches 个min-batch中，每个mini-batch包含 batchsize 个训练样本。每个iteration计算一个mini-batch中的样本的Loss，进而进梯度下降和参数更新，这样兼顾了批量梯度下降的准确度和随机梯度下降的更新效率。

  • 当 batch_size=m 时，小批量梯度下降就变成了批量梯度下降；
  • 当 batch_size=1 ，就退化为了SGD。

一般来说 batch_size 取2的整数次方的值。不得不说，“折中调和”真是经久不衰的智慧。

事实上，我们平时用梯度下降的时候说的最多的SGD指的是小批量梯度下降，各种论文里所说的SGD也大都指的mini-batch梯度下降这种方式。tensorflow中也是通过定义batch_size的方式在优化过程中使用小批量梯度下降的方式(当然，也取决于batch_size的设置)

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在这里插入图片描述

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