Leetcode 343. 整数拆分
题目链接：343 整数拆分
题干：给定一个正整数
n，将其拆分为k个 正整数 的和（k >= 2），并使这些整数的乘积最大化。返回 你可以获得的最大乘积 。
思考：动态规划。本题难点在于值n要拆分成几个数乘积最大。
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
- 确定递推公式
首先可以将 i 拆分成两个数相乘，只要 j 从1开始遍历至 i - 1作乘数之一，另一个乘数即为 i - j。
考虑dp[i]的定义，dp[i]是 i 拆分成多个乘数得到的最大乘积。
因此可以将 i 拆分成多个数相乘，其中一个乘数仍为 j , 另外多个乘数的最大乘积为 dp[i - j]。
取上面两种相乘结果的最大值。所以递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
如果仅考虑将 i 拆分为多个数相乘（包括两个）,则递推公式：dp[i] = max({dp[i], dp[i - j] * dp[j]});
而这种拆法默认将一个数拆成4份以及4份以上，但例如10，最大乘积是拆分成3，3，4得到的。
因此不能统一处理，要分开处理。
- dp的初始化
从dp[i]的定义可知 0，1不能拆分为两个正数，因此dp[0] dp[1] 就不应该初始化，
只初始化dp[2] = 1，拆分数字2，得到的最大乘积是1。
- 确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));中可以看dp[i]依赖于dp[i - j]，因此先要从3开始计算最大乘积，则遍历顺序为从前向后的。
其次对于求解 i 拆分后所得最大乘积的计算过程也是循环处理的过程。在确定递推公式中枚举j的时候， j 是从1遍历到 i ，但由常识可知取 i / 2 之后的情况是重复处理，因此 j 只需从1遍历至 i / 2。
- 举例推导dp数组
举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：
代码：
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
vector<int> dp(n + 1); //拆分各下标所得最大值
dp[2] = 1; //初始化
for (int i = 3; i <= n; i++) //计算n之前所有的最大值
for (int j = 1; j <= i / 2; j++)
//记录值更新为记录值、拆分两个以及拆分多个中的最大值
dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
return dp[n];
}
};Leetcode 96.不同的二叉搜索树
题目链接：96 不同的二叉搜索树
题干：给你一个整数
n，求恰由n个节点组成且节点值从1到n互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
思考：动态规划。此题难在找出不同N值对应二叉搜索树个数间的规律。
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寻找重叠子问题
首先是 n 为 1以及 n 为2的情况，如下图
下面是 n 为3的情况，如下图
观察3为根节点的情况，右子树为空，左子树的两种情况正好对应n 为 2 的两种情况。其次观察1为根节点的情况，左子树为空，右子树的两种情况对应的二叉树形状不仍然对应 n 为 2的两种情况。再看2为根节点的情况，左右子树的形状正好对应n 为 1的情况。
此时找到了重叠子问题，其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式。
dp[3]就是元素1为头结点搜索树的数量+元素2为头结点搜索树的数量+元素3为头结点搜索树的数量
元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量
有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。
所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]
如下图：
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动态规划五步曲
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。
- 确定递推公式
j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。
所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量
- dp数组如何初始化
由于推导的基础都是dp[0]，因此只需要初始化dp[0]即可。
从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。所以初始化dp[0] = 1
- 确定遍历顺序
首先是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。其次遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。因此都为从前向后遍历
- 举例推导dp数组
n为5时候的dp数组状态如图：
代码：
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector<int> dp(n + 1); //记录不同总节点数的各自组成的二叉搜索树个数
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= i; j++) //累加不同左右子树节点个数分配情况
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; //左子树节点j-1个,右子树节点i-j个的二叉树搜索树
return dp[n];
}
};自我总结：
- 开阔思路，寻找重复子问题以及前后联系。
