复高斯分布的随机变量的模方的分布

已知
$X\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$
则$\Vert X{\Vert }^2$的分布为

给定一个服从复高斯分布 ($X\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$) 的随机向量，我们可以使用随机变量的性质来求解 ( $\Vert X{\Vert }^2$) 的分布。

更具体地说，对于一个服从复高斯分布 ($X\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$) 的随机向量，其模的平方 ($\Vert X{\Vert }^2$) 的分布是自由度为 ($n$) 的卡方分布，其中 ($n$) 是向量的维度。

你是对的，我犯了一个错误。对于一个复高斯向量 (X)，其模的平方 (|X|^2) 的分布并不是卡方分布，而是指数分布。我会更正之前的错误。

给定一个服从复高斯分布 ($X\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$) 的随机向量，其模的平方 ($|X{|}^2$) 的分布可以通过复高斯分布的性质来推导。设 ($X=[X_1,X_2,\dots ,X_n]$)，其中 ($X_i$) 是 ($X$) 的第 ($i$) 个元素。

则
[$ |X|^2 = \sum_{i=1}^{n} |X_i|^2 ]

每个 (|X_i|^2) 是服从指数分布的随机变量，其分布为 (f(x_i) = \frac{1}{\beta_i} e^{-\frac{x_i}{\beta_i}})，其中 (\beta_i) 是 (|X_i|^2) 的均值。

因此，(|X|^2) 是 (n) 个独立指数分布随机变量之和，其分布是参数为 (n) 的伽马分布。

综上所述，一个复高斯向量 (X) 的模的平方 (|X|^2) 的分布是参数为 (n) 的伽马分布。

对不起，我犯了一个错误。给定一个服从复高斯分布的向量 (X)，其模的平方 (|X|^2) 的分布并不是指数分布或伽马分布。实际上，它的分布是自由度为 2 的卡方分布。

更具体地说，对于一个服从复高斯分布 (X \sim \mathcal{CN}(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})) 的随机向量，其模的平方 (|X|^2) 的分布是自由度为 2 的卡方分布。

我犯了一个错误，对不起。让我们重新考虑一下。

对于一个服从复高斯分布 (X \sim \mathcal{CN}(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})) 的向量，其模的平方 (|X|^2) 的分布实际上不是指数分布、伽马分布或卡方分布。而是指数分布的加和。

具体地说，如果我们考虑 (X) 的每个维度 (X_i)，那么 (|X_i|^2) 的分布是指数分布。因为对于复高斯分布中的每个维度，其模的平方是指数分布。

而 (|X|^2) 是 (|X_1|^2, |X_2|^2, \ldots, |X_n|^2) 的和，因此它的分布是指数分布的和，也就是 Erlang 分布。

所以，更准确地说，一个服从复高斯分布的向量 (X) 的模的平方 (|X|^2) 的分布是 Erlang 分布。

问题的源头

$$\mathrm{vec}\left({\mathbf{H}}_{\mathrm{BR}}\right)\sim \mathcal{C}\mathcal{N}\left(0,\frac{N_{\mathrm{t}}M{\rho }_{\mathrm{BR}}}{L}{\mathbf{\Phi }}^H\mathbf{\Phi }\right).$$

$\mathbf{\Phi }$ $L\ast L^2$

${\mathbf{H}}_{\mathrm{BR}}$ $L\ast L$

$$\mathbf{A}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}\left(0,\frac{N_{\mathrm{t}}M{\rho }_{\mathrm{BR}}}{L}{\mathbf{\Phi }}^H\mathbf{\Phi }\right).$$

矩阵服从复高斯分布

假设我们有一个矩阵变量 $\mathbf{X}$，它服从复高斯分布，可以表示为：
$X\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$
$\text{ 其中， }\mathcal{C}\mathcal{N}\text{ 表示复高斯分布， }\mathbf{\mu }\text{ 是一个复数均值向量， }\mathbf{\Sigma }\text{ 是一个复数协方差矩阵。 }$
$\text{ 矩阵变量 }X\text{ 的维度为 }m\times n\text{ ，协方差矩阵 }\mathbf{\Sigma }\text{ 的维度为 }mn\times mn\text{ 。 }$

在复高斯分布中，协方差矩阵的每个元素代表了对应位置的两个随机变量之间的相关性或者相关强度。具体地说，如果 $\mathbf{X}$ 是一个复高斯分布的矩阵变量，其协方差矩阵为 $\mathbf{\Sigma }$ ，那么 ${\mathbf{\Sigma }}_{i,j}$ 表示了 $\mathbf{X}$ 的第 $i$ 个元素与第 $j$ 个元素之间的相关性。

在实际应用中，协方差矩阵可以提供关于变量之间关系的丰富信息。例如，它可以用于衡量两个变量之间的线性相关性，或者描述多维数据集中不同维度之间的相关性模式。

向量服从复高斯分布

如果一个向量服从复高斯分布，其协方差矩阵的维度取决于向量的长度。假设我们有一个长度为 $n$ 的复高斯分布的向量 $\mathbf{x}$ ，那么协方差矩阵的维度将是 $n\times n$ 。

这是因为协方差矩阵需要考虑向量中每对元素之间的关系，而长度为 $n$ 的向量有 $n$ 个元素，因此协方差矩阵的大小为 $n\times n$ 。