1 二叉树的概念
二叉树是：
- 空树
- 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。
- 二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
2 二叉树的遍历
2.1 前序、中序以及后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓
二叉树遍历
(Traversal)
是按照某种特定的规则，依次对二叉
树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次
。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。
按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：
- 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。根 左子树 右子树
- 中序遍历(Inorder Traversal）：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。左子树 根 右子树
- 后序遍历(Postorder Traversal)：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。 左子树 右子树 根
- 由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。
- NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。
要注意：空NULL才是结束条件，而不是叶子。 只有看到NULL了才不往下遍历。
2.2 二叉树链式结构的实现
在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。
2.2.1 手动构建二叉树
//二叉树节点结构体
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
BTDataType data;
struct BinaryTreeNode* left;
struct BinaryTreeNode* right;
}TreeNode;
//手动构建一个二叉树
TreeNode* BuyTreeNode(int x)
{
TreeNode* node = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
assert(node);
//给出根节点，左右子树记为空
node->data = x;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
return node;
}
TreeNode* CreateTree()
{
TreeNode* node1 = BuyTreeNode(1);
TreeNode* node2 = BuyTreeNode(2);
TreeNode* node3 = BuyTreeNode(3);
TreeNode* node4 = BuyTreeNode(4);
TreeNode* node5 = BuyTreeNode(5);
TreeNode* node6 = BuyTreeNode(6);
TreeNode* node7 = BuyTreeNode(7);
//连接树
node1->left = node2;
node1->right = node4;
node2->left = node3;
node4->left = node5;
node4->right = node6;
node5->right = node7;
return node1;
}- 注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。
2.2.2 二叉树遍历代码实现
//前序
void PrevOrder(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
printf("%d ", root->data);
PrevOrder(root->left);
PrevOrder(root->right);
}
//中序
void InOrder(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
InOrder(root->left);
printf("%d ", root->data);
InOrder(root->right);
}
//后序
void PostOrder(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
PostOrder(root->left);//左
PostOrder(root->right);//右
printf("%d ", root->data);//根
}
int main()
{
TreeNode* root = CreateTree();
// 二叉树前序遍历
PreOrder(node);
printf("\n");
// 二叉树中序遍历
InOrder(node);
printf("\n");
// 二叉树后序遍历
PostOrder(node);
}前序遍历
递归理解：先进入函数，然后递归返回，直到全部返回完毕，函数结束。
中序遍历
2.2.3 计算二叉树节点个数
方法一：遍历
问题解决
- 下面这样可以吗?
int TreeSize(TreeNode* root)
{
int size = 0;
if (root == NULL)
{
return 0;
}
++size;
TreeSize(root->left);
TreeSize(root->right);
return size;
}
不可以。我们要知道，这样会递归出来很多个栈帧，而每一个栈帧都会创建一个新的size，最后size并没有实现累加。
针对以上问题，我们用静态static int size定义size可以解决问题：不把size放进栈帧，而是放进静态区。
- 但如果我们再次调用一下函数，会发现size的值变成了14。这是为什么呢？
原因：局部的静态变量只会被初始化一次。静态局部变量生命周期是程序结束，如果我们重复调用TreeSize函数，它会以上一次的结果为初始值进行累加，那么节点个数就会成倍增长。
- 如果每次用完将size置0呢？
也不可以，因为虽然局部静态变量的生命周期是在全局，但是它的作用域只在当前函数。而在函数里我们并不能找到地方将其置0。
根据以上问题，我们可以用全局变量，每次调用完函数以后将其置0即可。
代码实现
int size = 0;
void TreeSize(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
++size;
TreeSize(root->left);
TreeSize(root->right);
}
int main()
{
TreeNode* root = CreateTree();
//输出节点个数size的值
size = 0;
TreeSize(root);
printf("TreeSize:%d\n",size);
size = 0;
TreeSize(root);
printf("TreeSize:%d\n", size);
size = 0;
TreeSize(root);
printf("TreeSize:%d\n", size);
return 0;
}
方法二：递归 （首选思路）
代码实现
int TreeSize(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}
int main()
{
TreeNode* root = CreateTree();
printf("TreeSize:%d\n", TreeSize(root));
printf("TreeSize:%d\n", TreeSize(root));
printf("TreeSize:%d\n", TreeSize(root));
}也可以用三目运算符简写如下
int TreeSize(TreeNode* root)
{
return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) +TreeSize(root->right) + 1;
}思路分析
可看成校长安排数 学校人数问题。
要控制好子问题分治和代码返回条件。
- 分治：根+左子树的节点个数+右子树的节点个数
- 返回条件：空树返回0
2.2.4 计算二叉树叶子节点个数
- 分治：左子树的叶子节点+右子树的叶子节点
- 返回条件：若为空树返回0，若为叶子节点则返回1。
代码实现
// 叶子节点的个数
int TreeLeafSize(TreeNode* root)
{
// 空 返回0
if (root == NULL)
return 0;
// 不是空，是叶子 返回1
if (root->left == NULL
&& root->right == NULL)
return 1;
// 不是空 也不是叶子 分治=左右子树叶子之和
return TreeLeafSize(root->left) +
TreeLeafSize(root->right);
}2.2.5 计算二叉树的高度
- 分治：左子树和右子树中高的子树+1（每一层都要进行筛选）
- 返回条件：空树NULL返回0
代码实现
方法一
int TreeHeight(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
return 0;
int leftHeight = TreeHeight(root->left);
int rightHeight = TreeHeight(root->right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
方法二
#include<math.h>
int TreeHeight(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
return 0;
return fmax(TreeHeight(root->left), TreeHeight(root->right)) + 1;
}注意：以下这种写法，在OJ里可能会过不去，因为如果数很多很多就会调用次数太多，有大量的重复计算，超出时间限制。
int TreeHeight(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
return TreeHeight(root->left) > TreeHeight(root->right) ?
TreeHeight(root->left) + 1 :
TreeHeight(root->right) + 1;
}下一节我们继续讲解二叉树第K层的节点个数的代码实现。
