【详解】图的概念和存储结构（邻接矩阵，邻接表）

图的基本概念：

图的存储结构

邻接矩阵（GraphByMatrix）：

基本参数：

初始化：

获取顶点元素在其数组中的下标：

添加边和权重：

获取顶点的度：

打印图：

邻接表（GraphByNode）：

基本参数：

注意：

初始化：

获取顶点元素在其数组中的下标：

添加边和权重：

获取顶点的度：

打印图：

结语：

图的基本概念：

图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)。

其中：

（1）顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合。

（2）E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合。

（3）(x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path表示从x到y的一条单向通路，即Path 是有方向的。

顶点和边：

图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或。

有向图和无向图：

在有向图中，顶点对是有序的，顶点对称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，和是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y) 称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。注意：无向边(x, y)等于有向边和。

例如下图：G1和G2位无向图，G3和G4为有向图。

完全图：

在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。

顶点的度：

顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。

路径：

在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。

路径长度：

对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。

简单路径与回路：

若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。例如下图：

子图：

设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图。如下图：

连通图：

在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。

强连通图：

在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到 vi的路径，则称此图是强连通图。

生成树：

一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边。

图的存储结构

因为图中既有节点，又有边(节点与节点之间的关系)，因此，在图的存储中，只需要保存：节点和边关系即可。故图的存储结构有两种。1.邻接矩阵 2.邻接表。其中最常用的是邻接矩阵。

邻接矩阵（GraphByMatrix）：

因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。

注意：

1. 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。

2. 如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不通，则使用无穷大代替。

如下图：

3. 用邻接矩阵存储图的优点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路径不是很好求。

实现GraphByMatrix类，arrayv用来存放顶点，matrix来存放边，isDirect用来判断图是否是有向图。根据上面给出的注意2要用fill将数组初始化为无穷大。

基本参数：

public class GraphByMatrix {
    private char[] arrayV;//存放顶点·
    private int[][] matrix;//存放边
    private boolean isDirect;//是否是有向图
    public GraphByMatrix(int size,boolean isDirect){
        arrayV = new char[size];
        matrix = new int[size][size];
        for(int i = 0;i < size;i++){
            Arrays.fill(matrix[i],Integer.MAX_VALUE);
        }
        this.isDirect = isDirect;
    }
}

初始化：

初始化arrayV顶点数组。

public void initArrayV(char[] array){
        for(int i = 0;i < array.length;i++){
            arrayV[i] = array[i];
        }
    }

获取顶点元素在其数组中的下标：

public int getIndexOfV(char v){
        for(int i = 0;i < arrayV.length;i++){
            if(v == arrayV[i]){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

添加边和权重：

先查找出两个顶点在，顶点数组中的位置，特别注意：无向图的话，两边都要设置,因为有向图每条边都是单独的。

public void addEdge(char v1,char v2,int weight){
        int index1 = getIndexOfV(v1);
        int index2 = getIndexOfV(v2);
        matrix[index1][index2] = weight;
        if(!isDirect){
            matrix[index2][index1] = weight;
        }
    }

效果如下：

这是一个无向图，将边的关系抽象为二维数组，其中2^31-1为未赋予权重。

获取顶点的度：

1、现在顶点数组 arrayV 中找到顶点的下标。

2、无向图只需要计算出度就好了。

3、如果是有向图，有向图的度 = 入度 +出度。

4、此时的count中存储的就是顶点V的度。

第二个for循环是沿着y轴遍历。

public int getDevOfV(char v){
        int indexV = getIndexOfV(v);
        int count = 0;
        for(int i = 0;i < arrayV.length;i++){
            if(matrix[indexV][i] != Integer.MAX_VALUE){
                count++;
            }
        }
        if(isDirect){
            for(int i = 0;i < arrayV.length;i++){
                if(matrix[i][indexV] != Integer.MAX_VALUE){
                    count++;
                }
            }
        }
        return count;
    }

测试如下：

我们add了A的两条边故打印2.

打印图：

为了使打印效果更好我们将2^31-1打印为无穷大。

public void printGraph(){
        for(int i = 0;i < arrayV.length;i++){
            System.out.print(arrayV[i] + " ");
        }
        System.out.println();
        for(int i = 0;i < matrix.length;i++){
            for(int j = 0;j < matrix[i].length;j++){
                if(matrix[i][j] == Integer.MAX_VALUE) {
                    System.out.print("∞ ");
                }else {
                    System.out.print(matrix[i][j]+" ");
                }
            }
            System.out.println();
        }
    }

效果如下：

邻接表（GraphByNode）：

邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。

1. 无向图邻接表存储

注意：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点vi边链表集合中结点的数目即可。

2.有向图邻接表存储：

注意：有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就是该顶点的出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链表，看有多少边顶点的dst取值是i。

基本参数：

需要设置一个静态内部类Node结点，结点要能存储起始，终点，权重和下一结点的数据。运用数组加链表的存储方式。

public class GraphByNode {
    static class Node{
        public int src;//起始下标
        public int dest;//重点下标
        public int weight;//权重
        public Node next;
        public Node(int src,int dest,int weight){
            this.src = src;
            this.dest = dest;
            this.weight = weight;
        }
    }
    private ArrayList<Node> edgeList;
    private char[] arrayV;//存放顶点
    private boolean isDirect;//是否是有向图
    public GraphByNode(int size,boolean isDirect){
        arrayV = new char[size];
        edgeList = new ArrayList<>(size);
        for(int i = 0;i < size;i++){
            edgeList.add(null);
        }
        this.isDirect = isDirect;
    }
}

注意：

new ArrayList<>(size)里面直接加参数是不能初始化list大小的例如：

我们可以看到size的大小为0这样在进行操作时就会报错。

解决方法如下：

这样就成功解决了💯。

初始化：

public void initArrayV(char[] array){
        for(int i = 0;i < array.length;i++){
            arrayV[i] = array[i];
        }
    }

获取顶点元素在其数组中的下标：

public int getIndexOfV(char v){
        for(int i = 0;i < arrayV.length;i++){
            if(arrayV[i] == v){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

添加边和权重：

为了使代码更加整洁在addEdge里面再调用addEdgeChild方法。注意区分有向图和无向图的区别，如果要添加的边已经再链表里了直接return退出添加失败而不是大多数的覆盖，用头插法插入数据。

public void addEdge(char v1,char v2,int weight){
        int src = getIndexOfV(v1);
        int dest = getIndexOfV(v2);
        addEdgeChild(src,dest,weight);
        if(!isDirect){
            addEdgeChild(dest,src,weight);
        }
    }
    private void addEdgeChild(int src,int dest,int weight){
        Node cur = edgeList.get(src);
        while(cur != null){
            if(cur.dest == dest){
                return;
            }
            cur = cur.next;
        }
        //头插法
        Node node = new Node(src,dest,weight);
        node.next = edgeList.get(src);
        edgeList.set(src,node);
    }

效果如下：

获取顶点的度：

1、现在顶点数组 arrayV 中找到顶点的下标。

2、如果是无向图，只需要遍历链表的节点个数。

3、如果是有向图，必须检测其他所有顶点对应的边链表，看有多少边顶点的dst取值是i //有向图也就一张表。

使用continue来跳过当前自己的顶点链表防止有重复。

public int getDevOfV(char v){
        int indexV = getIndexOfV(v);
        int count = 0;
        Node cur = edgeList.get(indexV);
        while(cur != null){
            count++;
            cur = cur.next;
        }
        if(isDirect){
            int dest = indexV;
            for(int src = 0;src < arrayV.length;src++){
                if(src == dest){
                    continue;
                }else{
                    Node pCur = edgeList.get(src);
                    while(pCur != null){
                        if(pCur.dest == dest){
                            count++;
                        }
                        pCur = pCur.next;
                    }
                }
            }
        }
        return count;
    }

效果如下：

打印图：

 public void printGraph(){
        for(int i = 0;i < arrayV.length;i++){
            System.out.print(arrayV[i] + "->");
            Node cur = edgeList.get(i);
            while(cur != null){
                System.out.print(cur.dest + "->");
                cur = cur.next;
            }
            System.out.println("null");
        }
    }

效果如下：