树和二叉树的基本知识

一、树的概念及结构

1.树的概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。

有一个 特殊的结点，称为根结点 ，根节点没有前驱结点。

除根节点外， 其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 …… 、 Tm ，其中每一个集合 Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继。

因此， 树是递归定义 的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2.相关概念

节点的度：一个节点含有的子树个数称为该节点的度。如上图：根节点A的度为5

叶节点/终端节点：度为0的节点称为叶节点。如上图：B、D、G、I、K、L、M、N、O均为叶节点

分支节点/非终端节点：度不为0的节点。如上图：C、E、F、H、J为分支节点

双亲节点或父节点 ：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图： A 是 B 的父节点

孩子节点或子节点 ：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图： B 是 A 的孩子节点

兄弟节点 ：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图： B 、 C 是兄弟节点

树的度 ：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为5

节点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推

树的高度或深度 ：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为 4

节点的祖先 ：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图： A 是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是 A 的子孙

森林： m （ m>0 ）棵互不相交的树的集合称为森林

3.树的表示

实际中树的表示方法有很多种，最常用的是链式存储结构的孩子兄弟表示法：

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild; // 指向其第一个孩子结点
 struct Node* _Brother; // 指向其兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

例如，上图的部分节点表示如下：

4.树的性质

①设度为i的节点个数为 $n_{i}$ ,则对于一颗度为m的树，其总节点个数N = $n_{0}+n_{1}+...+n_{m}$

②所有节点的度之和 $n_{1}+2n_{2}+...+mn_{m}=N-1$

二、二叉树的概念

1.概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合 :

1. 或者为空

2. 或者由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从定义可以看出，二叉树的度小于等于2，即不存在度大于2的节点。因此，任意一颗二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

注意：二叉树≠度为2的树：二叉树的度可以为0/1/2，但度为2的树的度必须为2，即度为2的树必须存在度为2的节点，而二叉树没有此限制。

2.特殊的二叉树

①满二叉树 ：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

也就是说，如果一个二叉树的层数为K ，且结点总数是 $2^{k}-1$ ，则它就是满二叉树。

②完全二叉树 ：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3.二叉树的性质

①若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 $2^{i-1}$ 个结点

② 若规定根节点的层数为 1 ，则 深度为 h 的二叉树的最大结点数是 $2^{h}-1$

③由树的性质可知， $N=n_{0}+n_{1}+n_{2}$ ， $n_{1}+2n_{2}=N-1$ ，联立上式可得 $n_{0}=n_{2}+1$

④若规定根节点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度 ， $h=log_{2}(n+1)$

三、二叉树的存储结构

1.顺序存储

顺序存储就是使用一个数组来存储，顺序存储一般只适用于完全二叉树或近似于完全二叉树，否则会造成较大的空间浪费。现实使用中只有堆才会使用数组存储，关于堆的内容将在下篇博客【堆的实现及应用】讲解。

二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2.链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一颗二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常链表中的每个节点由三个域组成：数据域、左指针域、右指针域。其中左右指针域分别给出该节点左孩子和右孩子所在链节点的地址。这种链式结构又叫做二叉链。

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType val;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

一颗二叉树可以分为三部分：根节点、左子树、右子树，而左右子树又都是一颗二叉树，可见二叉树的结构具有递归性，因此基于链式存储结构的二叉树算法多数也是递归的，这样代码的可读性更高、容易理解。

（1）二叉树的遍历

二叉树遍历是指按照某种特定规则依次访问二叉树的全部节点，每个节点只访问一次。

遍历是二叉树最重要的算法之一，也是其他算法的基础。

二叉树的遍历可分为四种：

①前序遍历：按照根节点、左子树、右子树的顺序遍历二叉树。如上图，遍历结果为1 2 4 6 5 3

②中序遍历：按照左子树、根节点、右子树的顺序遍历二叉树。如上图，遍历结果为4 6 2 5 1 3

③后序遍历：按照左子树、右子树、根节点的顺序遍历二叉树。如上图，遍历结果为6 4 5 2 3 1

④层序遍历：从根节点开始，自上而下、自左至右逐层访问二叉树的每个节点。如上图，遍历结果为1 2 3 4 5 6

其中，前三种遍历方式均属于递归遍历，第四种为非递归遍历。

下面以前序遍历为例演示递归遍历：

void PreOrder(BTNode* t)
{
	if (t == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	printf("%d ", t->val);
	PreOrder(t->left);
	PreOrder(t->right);
}

层序遍历需要借助队列来实现，使用队列保存每个节点的孩子节点，通过不断地入队和出队以此来实现所有节点的访问：（注：有关队列的接口函数均与上篇博客中保持一致）

void LevelOrder(BTNode* t)
{
	Queue qu;
	QueueInit(&qu);
	QueuePush(&qu, t);
	while (!QueueEmpty(&qu))
	{
		BTNode* tmp = QueueFront(&qu);
		QueuePop(&qu);
		printf("%d ", tmp->val);

		if (tmp->left != NULL)
			QueuePush(&qu, tmp->left);
		if (tmp->right != NULL)
			QueuePush(&qu, tmp->right);
	}
}

（2）二叉树的创建和销毁

已知一颗二叉树的某种递归遍历序列，如何构建出对应的二叉树？下面以前序序列为例：（注：子树为空用‘#’表示）

//创建单个节点
BTNode* SingleNode(BTDataType x)
{
	BTNode* _new = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (_new == NULL)
	{
		perror("malloc error");
		exit(-1);
	}
	_new->val = x;
	_new->left = NULL;
	_new->right = NULL;

	return _new;
}

//创建二叉树
BTNode* CreateBT(char* a, int* pi)  //pi为遍历序列a的下标，开始为0
{
	if (a[*pi] == '#')
	{
		(*pi)++;
		return NULL;
	}

	BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (root == NULL)
	{
		perror("malloc error");
		exit(-1);
	}
	root->val = a[(*pi)++]-'0';  //注意数据类型
	
	root->left = CreateBT(a, pi);
	root->right = CreateBT(a, pi);

	return root;
}

二叉树的销毁：

void BTDestroy(BTNode** pt)
{
	BTNode* t = *pt;
	if (t == NULL)
		return;

	BTDestroy(&(t->left));
	BTDestroy(&(t->right));
	free(t);
	*pt = NULL;
}

（3）其他算法

下面列举了一些有关二叉树遍历的其他算法，可以加深对递归遍历和链式结构的理解。当然，这些算法题在各大OJ平台都可以搜到。

①计算二叉树的节点个数：

int TreeNodeSize(BTNode* t)
{
	if (t == NULL)
		return 0;

	return TreeNodeSize(t->left) + TreeNodeSize(t->right) + 1;
}

②计算二叉树叶子节点的个数：

int LeafSize(BTNode* t)
{
	if (t == NULL)
		return 0;
	if (t->left == NULL && t->right == NULL)
		return 1;

	return LeafSize(t->left) + LeafSize(t->right);
}

③计算二叉树的高度：

int TreeHeight(BTNode* t)
{
	if (t == NULL)
		return 0;

	int left = TreeHeight(t->left);
	int right = TreeHeight(t->right);
	return (left > right ? left : right) + 1;
}

④计算第k层的节点个数：

int Size_k(BTNode* t,int k)
{
	if (t == NULL)
		return 0;
	if (k == 1)
		return 1;

	return Size_k(t->left, k - 1) + Size_k(t->right, k - 1);
}

⑤查找值为x的节点：

BTNode* BTFind(BTNode* t, BTDataType x)
{
	if (t == NULL)
		return NULL;
	if (t->val == x)
		return t;

	BTNode* t1 = BTFind(t->left, x);
	if (t1 != NULL)
		return t1;
	else
		return BTFind(t->right, x);
}

⑥判断两棵树是否相同：

bool isSameTree(BTNode* p, BTNode* q) 
{
	if (p == NULL && q == NULL)  //在条件判别时,p==NULL等价于!p
		return true;
	if (p == NULL || q == NULL)
		return false;

	if (p->val != q->val)
		return false;

	bool left = isSameTree(p->left, q->left);
	bool right = isSameTree(p->right, q->right);

	return left && right;
}

⑦翻转二叉树：

BTNode* invertTree(BTNode* root) 
{
	if (root == NULL)
		return NULL;

	BTNode* _root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode*));
	if (_root == NULL)
	{
		perror("malloc error");
		exit(-1);
	}
	_root->val = root->val;
	_root->left = invertTree(root->right);
	_root->right = invertTree(root->left);

	return _root;
}