朋友们、伙计们，我们又见面了，本专栏是关于各种算法的解析，如果看完之后对你有一定的启发，那么请留下你的三连，祝大家心想事成！
C 语 言 专 栏：C语言：从入门到精通
数据结构专栏：数据结构
个 人 主 页 ：stackY、
C + + 专 栏 ：C++
Linux 专 栏 ：Linux
目录
1. 题目解析
2. 算法原理
2.1 状态表示
2.2 状态转移方程
2.3 初始化
2.4 填表顺序
2.5 返回值
3. 代码实现
4. 算法复杂度
5. 优化边界情况以及初始化
5.1 优化之后代码
1. 题目解析
Leetcode91.解码方法：https://leetcode.cn/problems/decode-ways/description/
一条包含字母
A-Z的消息通过以下映射进行了 编码 ：'A' -> "1" 'B' -> "2" ... 'Z' -> "26"要 解码 已编码的消息，所有数字必须基于上述映射的方法，反向映射回字母（可能有多种方法）。例如，
"11106"可以映射为：
"AAJF"，将消息分组为(1 1 10 6)"KJF"，将消息分组为(11 10 6)注意，消息不能分组为
(1 11 06)，因为"06"不能映射为"F"，这是由于"6"和"06"在映射中并不等价。给你一个只含数字的 非空 字符串
s，请计算并返回 解码 方法的 总数 。题目数据保证答案肯定是一个 32 位 的整数。
示例 1：
输入：s = "12" 输出：2 解释：它可以解码为 "AB"（1 2）或者 "L"（12）。示例 2：
输入：s = "226" 输出：3 解释：它可以解码为 "BZ" (2 26), "VF" (22 6), 或者 "BBF" (2 2 6) 。示例 3：
输入：s = "06" 输出：0 解释："06" 无法映射到 "F" ，因为存在前导零（"6" 和 "06" 并不等价）。提示：
1 <= s.length <= 100s只包含数字，并且可能包含前导零。
本题采用动态规划的思想，以某一位置为开始，或者以某一位置为结束，要注意的是：
例如：
06没有解码方式，因为单独的0不能解码，并且06组合起来也不能解码，06和6并不等价。
60也没有解码方式，6单独有解码方式，但是0没有，并且二者结合60也没有解码方式。
262有两种解码方式，依次单独解码(1)，26组合解码(2)，但是62组合没有解码方式。
那么就表明：
一个数要能单独解码就要在'1' ~ '9' 之间
两个数组合一起能解码就要在'10' ~ '26' 之间
2. 算法原理
2.1 状态表示
根据题目要求：
要求的是总共的解码数，那么假设一共有i个数
那么我们以i位置为结尾时，所得的解码的方法就是要求的解码方法总数。
因此：dp[i] 就表示解码的方法数。
2.2 状态转移方程
根据最近的一步划分问题：
dp[i]位置的解码数就是：①s[i]单独解码数
②s[i-1]和s[i]组合起来的解码数
①如果s[i]能单独解码，那么此时的解码数就是dp[i-1]时的解码数，如果不能单独解码，那么之前的工作都作废了，总的解码数为0的。
②如果s[i-1]和s[i]组合起来能解码，那么此时的解码数就是dp[i-2]时的解码数，如果组合起来不能解码，那么就为0。
因此如果两种方式都可以解码成功：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
2.3 初始化
为了防止越界，求dp[i]就要知道dp[i-1]和dp[i-2]，所以需要将dp[0]和dp[1]初始化
dp[0]就是s[0]位置的解码数，那么只有0和1两种情况，如果s[0]能单独解码，就是1，不能则是0。
dp[1]就是s[1]位置的解码数，这里存在两种情况，如果s[0]和s[1]能单独解码就算一种，如果s[0]和s[1]组合起来能解码也是一种，如果s[1]单独都不能解码就是0。
因此dp[1]的解码方法是0或1或2。
2.4 填表顺序
从左向右
2.5 返回值
dp[n-1]
3. 代码实现
class Solution { public: int numDecodings(string s) { int n = s.size(); // 1. 创建dp表 vector<int> dp(n); // 2. 初始化 dp[0] = s[0] != '0'; // 边界情况 if(n == 1) return dp[0]; if(s[0] != '0' && s[1] != '0') dp[1] += 1; int ret = (s[0] - '0')*10 + s[1] - '0'; if(ret >= 10 && ret <= 26) dp[1] += 1; // 3. 填表 for(int i = 2; i<n; i++) { // 单独解码 if(s[i] != '0') dp[i] += dp[i-1]; int ret = (s[i-1] - '0')*10 + s[i] - '0'; // 组合解码 if(ret >= 10 && ret <= 26) dp[i] += dp[i-2]; } // 4. 返回值 return dp[n-1]; } };
4. 算法复杂度
时间复杂度：O(N)
空间复杂度：O(N)
5. 优化边界情况以及初始化
通过上面的代码可以发现： 初始化部分与填表部分逻辑类似代码冗余，所以可以做以优化
我们在创建dp表时可以多创建一个空间，只需要对这个空间进初始化就可以优化繁琐的初始化过程：
既然多开了一个空间，那么就需要注意两个问题：
1. 初始化虚拟节点的值，要保证后面的填表是正确的；
2. 下标映射的关系。
下面，我们分别来对这两个问题进行研究：
1. 初始化虚拟节点的值，要保证后面的填表是正确的
因为我们多开了一个空间，这个空间的值也就意味着后面的值正确与否，我们需要根据题目要求和状态表示来初始化这个虚拟空间的值：
状态表示：dp[i]表示解码方法数
那么这个虚拟空间的值应该被设置为1 -> dp[0] = 1
那么为什么呢？
在计算dp[2]时，如果可以与前一个组合起来解码，那么需要加上dp[i-2]，这样就正好是一种方法。
2. 下标映射的关系
由于我们多创建了一个空间，那么在填表的时候s中的下标就要统一减一。
5.1 优化之后代码
class Solution { public: int numDecodings(string s) { int n = s.size(); // 多开一个空间 vector<int> dp(n + 1); // 初始化 dp[0] = 1; dp[1] = s[1 - 1] != '0'; for(int i = 2; i<=n; i++) { // s的下标要对应-1 if(s[i - 1] != '0') dp[i] += dp[i-1]; int ret = (s[i-2] - '0')*10 + s[i - 1] - '0'; if(ret >= 10 && ret <= 26) dp[i] += dp[i-2]; } //多开一个空间所以返回第n个位置即可 return dp[n]; } };
朋友们、伙计们，美好的时光总是短暂的，我们本期算法的分享就到此结束，欲知后事如何，请听下回分解~，最后看完别忘了留下你们弥足珍贵的三连喔，感谢大家的支持！
