Python贝尔多项式

news2024/11/17 12:59:19

文章目录

- Bell数和Bell多项式
- 第二类Bell多项式

Bell数和Bell多项式

Bell，即所有包含 $n$ 个对象的有限集合的子集数之和，可通过递推式进行定义

$B_n=\sum^{n-1}_{k=0}\begin{pmatrix} n-1\\k \end{pmatrix}B_k,\quad B_0=1$

其级数表达式为

$B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty\frac{k^n}{k!}$

根据贝尔数可以定义贝尔多项式，

$B_n(x)=xB_n=\sum^{n-1}_{k=0}\begin{pmatrix} n-1\\k-1 \end{pmatrix}B_{k-1},\quad B_0(x)=1$

在sympy中，bell(n)将返回 $n$ 阶Bell数 $B_n$ ，bell(n,x)将返回 $n$ 阶Bell多项式 $B_n(x)$ ，示例如下

from sympy import print_latex
from sympy import bell, Symbol
[bell(n) for n in range(11)]
# [1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975]
bell(30)
# 846749014511809332450147
print_latex(bell(4, Symbol('t')))

$t^{4} + 6 t^{3} + 7 t^{2} + t$

第二类Bell多项式

第二类Bell多项式 $B_{n,k}$ 与第一类Bell多项式有关，但更多关注的是从 $n$ 个不同集合中选择 $k$ 个集合的不同方式，其表达式为

$B_{n,k}(x_1,x_2,\cdots,x_{n-k+1})=\sum_{\sum_{j_i}=k,\sum_{ij_i}=n}\frac{n!}{\prod^{n-k+1}_{i=1}j_i!}(\frac{x_1}{1!})^{j_1}(\frac{x_2}{2!})^{j_2}\cdots(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1)!})^{j_n}$

在sympy中，示例如下

from sympy import symbols
b = bell(6, 2, symbols('x:6')[1:])
print_latex(b)

$6 x_{1} x_{5} + 15 x_{2} x_{4} + 10 x_{3}^{2}$

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