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一、583、两个字符串的删除操作

  思路分析：本题的思路和115、不同的子序列差不多，只是变成了两个字符串都能删除字符。

1. 第一步，动态数组的含义。$dp[i][j]$代表使得$word1[0,i-1]$和$wrod2[0,j-1]$相等所需删除的最小步数。
2. 第二步，递推公式。$dp[i][j]$可以由两种情况推导出来：

• $word1[i-1]$与$word2[j-1]$相同：那么最小步数和使得$word1[0,i-2]$和$wrod2[0,j-2]$相等所需删除的最小步数相同。$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]$。
• $word1[i-1]$与 $word2[j-1]$不相同：这种情况的$dp[i][j]$可以由三部分构成：若$word1[0,i-2]$和$word2[0,j-1]$做了$dp[i-1][j]$次删除操作以后会相等，那么再删除$word1[i-1]$以后又可以相等，即$dp[i][j]=dp[i-1][j]+1$；若$word1[0,i-1]$和$word2[0,j-2]$做了$dp[i][j-1]$次删除操作以后会相等，那么再删除$word2[j-1]$以后又可以相等，即$dp[i][j]=dp[i][j-1]+1$。因为要求最小步数，那么我们对两项取最小：$dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1)$。

	if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
	else dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;

3. 第三步，元素初始化。$dp[i][0]$（第一列）表示字符串$word1[0,i-1]$变成空字符串需要删除的最小字符个数。$dp[0][j]$（第一行）表示$word2[0,j-1]$变成空字符串需要删除的最小字符个数。其中，空字符串word1变成空字符串word2的个数为0。那么$dp[0][0]=0,dp[i][0]=i,dp[0][j]=j$。

		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为i
		for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为i

4. 第四步，递归顺序。一共有两层循环，从前往后进行遍历。
5. 第五步，打印结果。

  程序如下：

// 583、两个字符串的删除操作-动态规划
class Solution {
public:
	int minDistance(string word1, string word2) {
		vector<vector<uint64_t>> dp(word1.size() + 1, vector<uint64_t>(word2.size() + 1, 0));	// dp[0][0]为0
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为i
		for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为i
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
			for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
				if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
				else dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
			}
		}
		return dp[word1.size()][word2.size()];
	}
};

复杂度分析：

• 时间复杂度： $O(n\ast m)$，$n$和$m$分别是两个字符串的长度。
• 空间复杂度：$O(n\ast m)$。

二、72、编辑距离

  思路分析：本题在583题的基础之上加入了插入和替换操作。我们同样用动态规划的方法分析。

1. 第一步，动态数组的含义。$dp[i][j]$代表使得$word1[0,i-1]$和$wrod2[0,j-1]$相等所需的最小操作数。
2. 第二步，递推公式。$dp[i][j]$可以由两种情况推导出来：

• $word1[i-1]$与$word2[j-1]$相同：那么最小操作数和使得$word1[0,i-2]$和$wrod2[0,j-2]$相等所需的最小操作数相同。$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]$。
• $word1[i-1]$与 $word2[j-1]$不相同：这种情况的$dp[i][j]$可以由三部分构成：增加、删除和替换。删除部分和583题一致：$dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1)$。而增加字符和删除的操作数没有区别。若$word1[0,i-2]$和$word2[0,j-2]$做了$dp[i-1][j-1]$次删除操作以后会相等，那么再替换$word1[i-1]$或者$word2[j-1]$之间任意一个元素以后又可以相等，即$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1$。因为要求最小操作数，那么我们对两项取最小：$dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1]+1)=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1])+1$。

	if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
	//else dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;	// min()函数只接受两个参数，或者数组
	else dp[i][j] = min({ dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1] }) + 1;

3. 第三步，元素初始化。$dp[i][0]$（第一列）表示字符串$word1[0,i-1]$变成空字符串需要的最少操作数。$dp[0][j]$（第一行）表示$word2[0,j-1]$变成空字符串需要的最少操作数。其中，空字符串word1变成空字符串word2的个数为0。那么$dp[0][0]=0,dp[i][0]=i,dp[0][j]=j$。

	for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为i
	for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为i

4. 第四步，递归顺序。一共有两层循环，从前往后进行遍历。
5. 第五步，打印结果。

  程序如下：

// 72、编辑距离-动态规划
class Solution2 {
public:
	int minDistance(string word1, string word2) {
		vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));	// dp[0][0]为0
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为i
		for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为i
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
			for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
				if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
				//else dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;	// min()函数只接受两个参数，或者数组
				else dp[i][j] = min({ dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1] }) + 1;
			}
		}
		return dp[word1.size()][word2.size()];
	}
};

复杂度分析：

• 时间复杂度： $O(n\ast m)$，$n$和$m$分别是两个字符串的长度。
• 空间复杂度：$O(n\ast m)$。

三、完整代码

# include <iostream>
# include <vector>
# include <string>
using namespace std;

// 583、两个字符串的删除操作-动态规划
class Solution {
public:
	int minDistance(string word1, string word2) {
		vector<vector<uint64_t>> dp(word1.size() + 1, vector<uint64_t>(word2.size() + 1, 0));	// dp[0][0]为0
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为i
		for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为i
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
			for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
				if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
				else dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
			}
		}
		return dp[word1.size()][word2.size()];
	}
};

// 72、编辑距离-动态规划
class Solution2 {
public:
	int minDistance(string word1, string word2) {
		vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));	// dp[0][0]为0
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为i
		for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为i
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
			for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
				if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
				//else dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;	// min()函数只接受两个参数，或者数组
				else dp[i][j] = min({ dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1] }) + 1;
			}
		}
		return dp[word1.size()][word2.size()];
	}
};

int main() {
	//string word1 = "sea", word2 = "eat";	// 测试案例
	//Solution s1;
	//int result = s1.minDistance(word1, word2);

	string word1 = "horse", word2 = "ros";	// 测试案例
	Solution2 s1;
	int result = s1.minDistance(word1, word2);

	cout << result << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

end