总部位于希腊的小型海上巡航潜艇（MCMS）公司，制造能够将人类运送到海洋最深处的潜水器。潜水器被移动到该位置，并不受主船的束缚。MCMS现在希望用他们的潜水器带游客在爱奥尼亚海底探险，寻找沉船。然而，在他们能够做到这一点之前，他们需要通过制定安全程序，以防失去与主船的通信和可能的机械缺陷，包括潜水器的推进力损失。特别是，他们希望你开发一个模型来预测潜水器的位置。与典型的陆地或海面上的搜救不同，有缺陷的潜水器可能会发现自己位于海底或水下的中性浮力点。它的位置可能会进一步受到洋流、海洋密度的不同，和/或海底的地理位置的影响。您的任务是

（Maritime Cruises Mini-Submarines (MCMS), a company based in Greece, builds submersibles capable of carrying humans to the deepest parts of the ocean. A submersible is moved to the location and deployed untethered from a host ship. MCMS now wishes to use their submersible to take tourists on adventures exploring the bottom of the Ionian Sea for sunken shipwrecks.

Before they can do this, however, they need to win approval from regulators by developing safety procedures in case of a loss of communication to the host ship and possible mechanical defects including a loss of propulsion of the submersible. In particular, they would like you to develop a model to predict the location of the submersible over time. Unlike in a typical search and rescue on land or on the surface of a sea, the defective submersible could potentially find

itself positioned on the sea floor or at some point of neutral buoyancy underwater. Its position could further be affected by currents, differing densities in the sea, and/or the geography of the sea floor. Your tasks are to:）

问题一：

定位-开发一个模型，可以预测潜水器的位置。

与这些预测的不确定性是什么？ 潜水器在事故发生前可以定期向主船发送哪些信息，以减少这些不确定性？潜水器需要什么样的设备呢）（Locate - Develop a model(s) that predicts the location of the submersible over time. What are the uncertainties associated with these predictions? What information can the submersible periodically send to the host ship to decrease these uncertainties prior to an incident? What kinds of equipment would the submersible need to do so?）完整内容见文末附件！

针对问题一，我们将开发一个模型来预测潜艇随时间变化的位置，并讨论与这些预测相关的不确定性，以及潜艇可以周期性发送给母船的信息来减少这些不确定性之前需要的信息和设备。

模型开发：首先，我们需要开发一个或多个模型来预测潜艇的位置。这将包括动力学模型和外部因素（如海流）的影响。

不确定性分析：我们将识别和分析预测位置的不确定性来源，并考虑如何量化这些不确定性。

数据传输：最后，我们将探讨潜艇可以定期发送哪些信息以减少预测的不确定性，以及为此需要哪些设备。

具体建模：

1. 动力学模型

基本方程：使用牛顿第二定律F=ma，其中 F 是作用在潜艇上的合力，m 是潜艇的质量，a 是潜艇的加速度。考虑到在水下，潜艇受到的力包括浮力、重力和水的阻力。

浮力和重力：浮力

其中 ρwater​ 是水的密度，V 是潜艇排水量，g 是重力加速度。重力W=mg。

水阻力：

其中 Cd​ 是阻力系数，A 是潜艇迎水面积，v 是潜艇相对于水的速度。

2. 海流模型

海流影响：潜艇的速度相对于地面需要加上海流的速度 vcurrent​。

3. 综合模型

位置预测：潜艇的位置可以通过积分速度随时间的变化来预测。位置 x(t) 和速度 v(t) 随时间的关系可以用微分方程组表示：

数值求解：这组方程可以使用数值方法（如欧拉方法或龙格-库塔方法）进行求解，以预测潜艇随时间的位置。

不确定性来源和减少方法

欧拉方法

欧拉方法是最简单的数值方法之一，用于求解初值问题。对于一般形式的微分方程 dtdy​=f(t,y)，其中 y 是我们想要解决的函数，t 是时间，给定初始条件 y(t0)=y0​，欧拉方法通过以下迭代公式近似求解：

龙格-库塔方法

龙格-库塔方法提供了更高精度的解决方案，特别是四阶龙格-库塔方法（RK4），它通过结合几个不同点的斜率来提高计算的准确性。对于同样的微分方程

不确定性来源：包括海流模型的准确性、水密度变化、阻力系数的估计等。

减少不确定性：潜艇可以定期发送位置、深度、水温和周围水密度的数据。这些数据可以用来校正模型，提高预测的准确性。

所需设备

定位设备：如声纳定位系统（SONAR）或水下GPS模拟系统。

通讯设备：用于数据传输的水下通讯系统。

环境监测设备：如深度计、温度和盐度传感器。

问题二：

准备-如果有的话，你会建议公司携带主船部署？您可以考虑不同类型的设备，但也 必须考虑与该设备的可用性、维护、准备情况和使用相关的成本。如有必要，救援船可能需要配备哪些额外的设备来协助？（Prepare - What, if any, additional search equipment would you recommend the company carry on the host ship to deploy if necessary? You may consider different types of

equipment but must also consider costs associated with availability, maintenance,readiness, and usage of this equipment. What additional equipment might a rescue vessel need to bring in to assist if necessary）完整内容见文末附件

问题二要求我们考虑在主船上携带什么额外的搜索设备，并在必要时部署。我们需要先理解搜索和救援操作中可能使用的设备类型，以及评估这些设备的成本和效用。

设备类型：考虑不同类型的搜索设备，包括声呐系统、潜水器、水下无人机（ROVs）、浮标和卫星通讯设备。

成本分析：分析每种设备的购买成本、维护成本、准备和使用成本。

有效性评估：考虑每种设备在搜索操作中的有效性，包括搜索范围、搜索速度、深度限制和环境适应性。

概率模型：使用概率模型来估计不同设备找到潜艇的概率。

决策模型：构建一个决策模型来权衡成本和有效性，以推荐最合适的设备。

成本模型

问题三：
• 搜索-开发一个模型，它将使用来自您的位置模型的信息来推荐设备的初始部署点 和搜索模式，以尽量减少丢失的潜水器的定位时间。确定找到潜水器的概率作为 时间和累积的搜索结果的函数（Search - Develop a model that will use information from your location model(s) to recommend initial points of deployment and search patterns for the equipment so as to minimize the time to location of a lost submersible. Determine the probability of finding the submersible as a function of time and accumulated search results.）完整内容见文末附件！

问题三要求我们基于潜艇位置模型来推荐初始部署点和搜索模式，以最小化定位失联潜艇的时间，并确定随时间和累积搜索结果变化的找到潜艇的概率。

问题四：外推-你的模型如何扩展到其他旅游目的地，如加勒比海？你的模型将如何改变 ，以考虑到多个潜水器在同一一般附近移动
（Extrapolate - How might your model be expanded to account for other tourist destinations such as the Caribbean Sea? How will your model change to account for multiple submersibles moving in the same general vicinity?）（完整内容见文末附件！）

问题四要求我们扩展模型，使之能够适用于其他旅游目的地，如加勒比海，并考虑到多个潜艇在同一区域内运动的情况。

附件！含数据：