寒假思维训练计划day16 A. Did We Get Everything Covered?

news2025/1/19 20:41:50

今天更新一道1月27号晚上div2的C题作为素材，感觉用到了我的构造题总结模型，我总结了一系列的模型和例题。

摘要：

Part1 定义"边界贪心法"

Part2 题意

Part3 题解

Part4 代码

Part5 思维构造题模型和例题

Part1 边界贪心法(该题所用到的模型)：

边界贪心法：对于整体而言，我们去除已经定好的情况，剩下难以确定的情况，我们从其最边缘的位置去考虑、去假设；一般要在问题的最边界处考虑，一般最边界决定总体的走向，后面会给例题以及其它的模型及其例题。

Part2 题意：Problem - A - Codeforces

题意：

给定 $n,k,m$ ,再给定一个长度为 $m$ 的字符串S，该字符串满足只包含前k个小写字母字符, 要求判断能否找到所有的长度为 $n$ 且字符组成只包含前 $k$ 个小写字母字符的字符串为S的子序列（删除一些元素后，其余元素顺序不变而组成的序列）,能输出"YES",不能输出"NO",并构造出该字符串，它满足不是S的子序列。

Part3 题解:

题解：

1、已知：
$n,k,m, S, len(S) = m, S[i] \epsilon ['a', 'a' + k - 1], 1<= n,k <= 26,\\1 <= m <= 1000$

2、我们不妨从头到尾遍历，当满足 $len(set(s[i], s[i + 1], ... , s[j])) = k$ 划分一个块，即块中元素恰好包含了所有的前 $k$ 个元素，当出现 $len(set(s[i], s[i + 1], ... , s[j])) < k$ 必然是最后一个块，因为它往后无法得到全部元素，一直到最后才能满足，否则就可以一直往后合并。

3、接下来，我么分好了块，假设有： $block_1, block_2, block_3, ..., block_{cnt}$ 表示分出的块，

我们进行分类讨论 $\left\{\begin{matrix} YES, cnt >= n\\ NO, cnt < n\end{matrix}\right.$
3.1 当 $cnt >= n$ 那我们必然能从每个块分别拿出任意字符，组成长度为n的子序列。
3.2 当 $cnt < n$ ，此时我们证明一定是无解的，

3.2.1 首先我们证明第一个命题，所有满足 $len(set(s[i], s[i + 1], ... , s[j])) = k$ 块的最后一个元素必然只存在一个在当前块中：当最后一个元素有两个，我们必然可以让块的右边界往左边移动，矛盾。

3.2.2 证明从前往后每次取块中最后一个元素的序列一定是唯一的：已知有 $block_1, block_2, block_3, ..., block_{cnt},1 <= cnt < n$ , 其中满足 $len(set(s[i], s[i + 1], ... , s[j])) = k$ 的是： $block_1,block_2,....block_t, t == cnt \quad or \quad t == cnt- 1 \\ string = s_1 + s_2 + s_3 + ... + s_t$ ，当舍弃最后一个块的元素 $s_t$ ，我们知道该块中仅仅只有一个这样的元素(由3.2.1得), 只能在前面的块找到 $s_{t-1} + s_t$ ，显然 $s_{t-1}$ 也只由一个在块中，所以一直往前，必然无法找到新的可替代的 $string$ ，所以 $string$ 唯一。

3.2.3 所以取每个块的最后一个元素得到的 $string,len(string) < n$ ，并且它是唯一的，我们只需要在后面补上任意元素，使得 $len(string)==n$ 就一定不是S的子序列。

Part4 代码(C++)

C++代码(边界贪心法)：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define ff first 
#define ss second 
using namespace std; 
using PII = pair<int, int>; 
constexpr int N = 1e6 + 10;
constexpr int inf = 0x3f3f3f3f; 
int n, k, m; 
// int us[N][30], uss[N][30]; 
void solve() {
    cin >> n >> k >> m;
    string s; 
    cin >> s; 
    string ans = ""; 
    int o = 0; 
    for(int i = 0; i < m; i ++ ) {
        set<char> se; 
        se.insert(s[i]); 
        int j = i; 
        while(se.size() < k && j + 1 < m) {
            ++ j; 
            se.insert(s[j]); 
        }
        if(se.size() < k) {
            for(int j = 0; j < k; j ++ )
                if(se.count(('a' + j)) == 0) {
                    ans += ('a' + j); 
                    break; 
                }
        }
        else o ++, ans += s[j]; 
        
        i = j; 
    }
    if(o >= n) cout << "YES" << endl; 
    else {
        cout << "NO" << endl; 
        while(ans.size() < n) ans += 'a'; 
        cout << ans << endl;
    }
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false); 
    cin.tie(0); 
    cout.tie(0); 
    int ts; 
    cin >> ts; 
        
    while(ts -- ) solve(); 
    
    return 0;
}

Part5 思维构造题模型和例题

1、前后缀贪心，比如说观察前后缀的sum，去看以后怎么考虑最好。Problem - 1903C - Codeforces

2、双指针贪心法，考虑两端相消或者相互作用，还有就是考虑左右边界。 Problem - 1891C - Codeforces

Problem - 1907D - Codeforces

3、转换观察法，有些关系可以抽象成图，观察图的某些性质去总结规律。也可以抽象成一个集合，两个集合相等可以说明有解可构造。Problem - 1891C - Codeforces

4、打表找规律，一般没什么规律可循即可打表找规律，一般和数论有关的很喜欢考，acm也喜欢考，属于人类智慧题。Problem - 1916D - Codeforces

5、公式推导演算，常见的分为公式的等价变形、公式的化简（这个常考，一般需要先证明某些性质，可以直接抵消，一般如果原公式处理起来很复杂时就可以考虑）。Problem - 1889B - Codeforces

6、考虑奇偶数去简化问题或者分类问题，从其中的一些运算性质入手，因为奇数偶数的加减以及%运算（这个结论很重要）的结果的奇偶性是固定的，Problem - 1898C - Codeforces

7、根据性质构造模型，看看能不能分成几个块，几个不同的集合，再选择算法去解决。Problem - 1873G - Codeforces

8、考虑从小到大处理，或者是从大到小处理，有时候先处理小的对大的不会有影响，或者反过来，这样的处理顺序是最完美的。Problem - 1904D2 - Codeforces

9、边界贪心法，一般要在问题的最边界处考虑，有时候这样做结果是最优的，或者考虑边界上的影响，假如让影响最小，就使得影响<= 固定值。 Problem - E - Codeforces and Problem - 1903C - Codeforces
Problem - A - Codeforces

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