本篇博客主要讲解123.买卖股票的最佳时机III和188.买卖股票的最佳时机IV，是上篇博客中动态规划之买卖股票问题（篇一）（买卖股票的最佳时机）股票问题的进阶。

123.买卖股票的最佳时机III

题目：

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：

prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]

输出：

6

解释：

在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：

prices = [1,2,3,4,5]

输出：

4

解释：

在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。

 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
 因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：

prices = [7,6,4,3,1]

输出：

0

解释：

在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：

prices = [1]

输出：

0

提示：

• 1 <= prices.length <= 105
• 0 <= prices[i] <= 105

思路：

这道题目关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。

动态规划五部曲详细分析一下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

一天一共就有五个状态，

0. 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
1. 第一次持有股票
2. 第一次不持有股票
3. 第二次持有股票
4. 第二次不持有股票

dp[i][j]中i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很容易陷入的误区。

例如 dp[i][1] ，并不是说 第i天一定买入股票，有可能 第 i-1天 就买入了，那么 dp[i][1] 延续买入股票的这个状态。

2. 确定递推公式

dp[i][0] 的含义是第i天没有操作，所以dp[i][0] = dp[i-1][0]

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？

一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

同理可推出剩下状态部分：

dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i])

dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i])

3. dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0，因为dp[i][0]恒为0，所以这里定义dp数组的时候也可以不设置没有操作的状态，也就是去除原本的0状态，其余状态依次顺位覆盖。

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0]

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？这里可能会有疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0]

同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0

4. 确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5. 举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]为例

大家可以看到红色框为最后两次卖出的状态。

现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。如果想不明白的录友也可以这么理解：如果第一次卖出已经是最大值了，那么我们可以在当天立刻买入再立刻卖出。所以dp[4][4]已经包含了dp[4][2]的情况。也就是说第二次卖出手里所剩的钱一定是最多的。

所以最终最大利润是dp[4][4]

拓展：

其实我们可以不设置，‘0. 没有操作’ 这个状态，因为没有操作，手上的现金自然就是0， 正如我们在 121.买卖股票的最佳时机 和 122.买卖股票的最佳时机II 也没有设置这一状态是一样的。

代码及详细注释：

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        # 创建一个二维列表dp，用于存储每天结束时的最大利润
        dp = [[0] * 4 for _ in range(len(prices)]
        # 初始化第一天持有股票和第一次买入股票后的最大利润
        dp[0][0] = -prices[0]
        dp[0][2] = -prices[0]
        # 从第二天开始遍历价格列表
        for i in range(1, len(prices)):
            # 更新持有股票的最大利润为前一天持有股票的最大利润和当天买入股票的最大利润中的较大值
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i])
            # 更新不持有股票的最大利润为前一天不持有股票的最大利润和当天卖出股票的最大利润中的较大值
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i])
            # 更新第二次买入股票后的最大利润为前一次买入股票后的最大利润和当天买入股票的最大利润中的较大值
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] - prices[i])
            # 更新最终的最大利润为前一次卖出股票后的最大利润和当天卖出股票的最大利润中的较大值
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] + prices[i])
        return dp[-1][3]  # 返回最后一天的最大利润

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n × 4)

优化：

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        dp0 = -prices[0]  # dp0表示持有股票的最大利润，初始化为第一天买入股票的最大利润
        dp1, dp3 = 0, 0  # dp1表示不持有股票的最大利润，dp3表示最终的最大利润，初始化为0
        dp2 = -prices[0]  # dp2表示第二次买入股票后的最大利润，初始化为第一天买入股票的最大利润
        for i in range(1, len(prices)):
            dp0 = max(dp0, -prices[i])  # 更新持有股票的最大利润为前一天持有股票的最大利润和当天买入股票的最大利润中的较大值
            dp1 = max(dp1, dp0 + prices[i])  # 更新不持有股票的最大利润为前一天不持有股票的最大利润和当天卖出股票的最大利润中的较大值
            dp2 = max(dp2, dp1 - prices[i])  # 更新第二次买入股票后的最大利润为前一次买入股票后的最大利润和当天买入股票的最大利润中的较大值
            dp3 = max(dp3, dp2 + prices[i])  # 更新最终的最大利润为前一次卖出股票后的最大利润和当天卖出股票的最大利润中的较大值
        return dp3  # 返回最终的最大利润

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

188.买卖股票的最佳时机IV

题目：

给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：

输入

：k = 2, prices = [2,4,1]

输出：

2

解释：

在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2：

输入

：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]

输出：

7

解释：

在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4
。
随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

提示：

• 1 <= k <= 100
• 1 <= prices.length <= 1000
• 0 <= prices[i] <= 1000

思路：

这道题目可以说是动态规划：123.买卖股票的最佳时机III的进阶版，这里要求至多有k次交易。

动规五部曲，分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

在动态规划：123.买卖股票的最佳时机III (opens new window)中，我是定义了一个二维dp数组，本题其实依然可以用一个二维dp数组。

使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]

j的状态表示为：

• 0 表示不操作
• 1 第一次买入
• 2 第一次卖出
• 3 第二次买入
• 4 第二次卖出
• …

大家应该发现规律了吧 ，除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。

题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。

所以二维dp数组的定义为：

dp = [[0] * ( 2 * k + 1) for _ in range(len(prices))]

2. 确定递推公式

还要强调一下：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是容易陷入的误区。

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

同理可以类比剩下的状态，代码如下：

        for i in range(1, len(prices)):
            for j in range(0, 2 * k - 1, 2):
                dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i])
                dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i])

本题和动态规划：123.买卖股票的最佳时机III 最大的区别就是这里要类比j为奇数是买，偶数是卖的状态。

3. dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

所以同理可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]

代码如下：

        for j in range(1, 2 * k + 1, 2):
            dp[0][j] = -prices[0]

确定遍历顺序和举例推导dp数组跟上道题123.买卖股票的最佳时机III 一样。最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.size() - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。

代码及详细注释：

class Solution:
    def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
        # 创建一个二维列表dp，用于存储每天结束时的最大利润
        dp = [[0] * (2 * k + 1) for _ in range(len(prices))]
        # 初始化第一天持有股票的情况
        for j in range(1, 2 * k + 1, 2):
            dp[0][j] = -prices[0]
        # 从第二天开始遍历价格列表
        for i in range(1, len(prices)):
            # 对于每一天，计算持有股票和不持有股票的最大利润
            for j in range(0, 2 * k - 1, 2):
                # 更新持有股票的最大利润为前一天持有股票的最大利润和当天买入股票的最大利润中的较大值
                dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i])
                # 更新不持有股票的最大利润为前一天不持有股票的最大利润和当天卖出股票的最大利润中的较大值
                dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i])
        return dp[-1][-1]  # 返回最后一天的最大利润

• 时间复杂度: O(n * k)，其中 n 为 prices 的长度
• 空间复杂度: O(n * k)