题目：01背包问题

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图释：

//二维dp数组实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空间
void solve() {
    vector<int> weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间
    vector<int> value(n, 0);  // 存储每件物品价值
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> weight[i];
    }
    for(int j = 0; j < n; ++j) {
        cin >> value[j];
    }
    // dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值
    // j < weight[0]已在上方被初始化为0   dp[i][0] 表示背包重量为0，怎么取都是装不下的
    // j >= weight[0]的值就初始化为value[0]
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历科研物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历行李箱容量
            // 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            // 如果能装下,就将值更新为 不装这个物品的最大值 和 装这个物品的最大值 中的 最大值
            // 装这个物品的最大值由容量为j - weight[i]的包任意放入序号为[0, i - 1]的最大值 + 该物品的价值构成
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    while(cin >> n >> bagweight) {
        solve();
    }
    return 0;
}

题目：01背包问题（滚动数组）

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图释：

// 一维dp数组实现
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    // 读取 M 和 N
    int M, N;
    cin >> M >> N;

    vector<int> costs(M);
    vector<int> values(M);

    for (int i = 0; i < M; i++) {
        cin >> costs[i];
    }
    for (int j = 0; j < M; j++) {
        cin >> values[j];
    }

    // 创建一个动态规划数组dp，初始值为0
    vector<int> dp(N + 1, 0);

    // 外层循环遍历每个类型的研究材料
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        // 内层循环从 N 空间逐渐减少到当前研究材料所占空间
        for (int j = N; j >= costs[i]; --j) {
            // 考虑当前研究材料选择和不选择的情况，选择最大值
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - costs[i]] + values[i]);
        }
    }

    // 输出dp[N]，即在给定 N 行李空间可以携带的研究材料最大价值
    cout << dp[N] << endl;

    return 0;
}

题目：416. 分割等和子集

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图释：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;

        // dp[j] 表示容量为j的背包，最多能装dp[j]价值的东西
        vector<int> dp(10001, 0); //初始化为其他数时，会影响滚动数组max(dp[i],...)的值
        for(int i=0; i<nums.size(); i++){ 
            sum += nums[i];
        }
        if(sum % 2==1) return false; // 不能被2整除，则无法得到两个元素和相等的子集
        int target = sum / 2;
        for(int i=0; i<nums.size(); i++){ // 遍历物品，背包中只取一次nums[i]
           for(int j=target; j>=nums[i]; j--){
               // 相当于背包的最大容量为目标值target， 背包要大于物品重量，物品重量大于背包负重则结束循环
               dp[j] = max(dp[j], dp[j-nums[i]]+nums[i]); //此时的dp[j]表示还未放入nums[i]的最大值
           }
        }
        // 如果背包刚好能装满，则说明能分割为两个元素和相等的子集
        if(dp[target]==target) return true;
        return false;
    }
};