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浅谈 ST 表
这种东西还是很简单的,但是涉及左移右移,模板容易打挂,写篇笔记。
ST 表是什么
虽然这个是通过二维数组来实现的,但是我不是很喜欢称之为“表”。我觉得完全可以看作是在一维序列上的区间,看作“表”的话关联性就会很鬼畜。
其主要思想是: f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] 表示区间左端点为 i i i,区间长度为 2 j 2^j 2j 的区间信息(可以是最大值、区间和、区间 gcd \gcd gcd 等)。
有人说了,那为什么不用线段树?
我一开始也是这么想的,所以我一开始有段时间只会线段树,不会 ST 表。
ST 表的好处在于,他可以 O ( 1 ) O(1) O(1) 查询区间信息。至于预处理,就是 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn) 的。
而线段树,基本任何操作都是 O ( log n ) O(\log n) O(logn) 的。
所以如果你想 O ( 1 ) O(1) O(1) 查询,那就要学 ST 表。
注意! ST 表并不支持带修改。也就是说,对于不会修改的题目,并且需要查询时间优秀的题目,ST 表才有比线段树明显的优势。
如何实现 ST 表
预处理
众所周知,如果一个区间的长度是 1 1 1,那么这个“区间”就是 1 1 1 个元素。所以可以直接:
code
for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=a[i];
接下来考虑区间长度为 2 j 2^j 2j 的区间。
为什么我们要令长度是 2 j 2^j 2j 而不是 j j j 呢?——这正是这个算法的精髓所在。
因为长度为 2 j 2^j 2j 的区间可以看做由两个长度为 2 j − 1 2^{j-1} 2j−1 组成,而当我们正要处理出 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] 的时候,肯定已知 f [ i ] [ j − 1 ] f[i][j-1] f[i][j−1] (因为我们通过递推得出 f f f),所以可以直接转换。
此处实现代码以维护区间和为例。
code
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
{
for(int i=1;i+(i<<j)-1<=n;i++)
{
f[i][j]=f[i][j-1]+f[i+(1<<(j-1))][j-1];
}
}
转换没看懂?
看个图吧
(图中一个“棍棍”就是一个元素)
查询
查询亦是同理,只不过我们 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] 中的 i i i 是开头, l l l 就直接放进去, r r r 就要减去区间长度再 + 1 +1 +1 来得到开头。
这里依然是以区间和为例。
code
int query(int l,int r)
{
int k=log2(r-l+1);
return f[l][k]+f[r-(1<<k)+1][k];
}
P3865 【模板】ST 表
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=1e5+5;
int n,m;
int a[MAXN];
int lg[MAXN];
int f[MAXN][30];
inline int rd()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-')
f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return x*f;
}
int query(int l,int r)
{
int k=lg[r-l+1];
int d=r-(1<<k)+1;
return max(f[l][k],f[d][k]);
}
signed main()
{
n=rd(),m=rd();
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]=rd();
for(int i=1;i<=n;i++)
f[i][0]=a[i];
for(int i=2;i<=n;i++)
lg[i]=lg[i>>1]+1;
for(int j=1;j<=lg[n];j++)
{
for(int i=1;i<=n-(1<<j)+1;i++)
{
f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
while(m--)
{
int l=rd(),r=rd();
printf("%lld\n",query(l,r));
}
return 0;
}