1 算法分析技术

1.1 假设 $f$ 和 $g$ 是定义在自然数集合上的函数, 若对某个其他函数 $h$ 有 $f=O(h)$和 $g=O(h)$ 成立, 那么证明 $f+g=O(h)$

证明：

根据已知条件 $f=O(h)$，存在 $c_1>0$ 和正整数 $n_1$ 使得当使得当 $n⩾n_1$ 时, 有 $f(n)⩽c_{1}h(n)$ 。

同理根据已知条件 $g=O(h)$，存在 $c_2>0$ 和正整数 $n_2$ 使得当使得当 $n⩾n_2$ 时, 有 $g(n)⩽c_{2}h(n)$ 。

取常数 c 0 = max ⁡ { 2 c 1 , 2 c 2 } c_{0}=\max \left\{2 c_{1}\right. , \left.2 c_{2}\right\} c0​=max{2c1​,2c2​}， n 0 = max ⁡ { n 1 , n 2 } n_{0}=\max \left\{n_{1}, n_{2}\right\} n0​=max{n1​,n2​}， 那么当 $n⩾n_0$ 时，可以得到
$$f(n)+g(n)⩽c_{1}h(n)+c_{2}h(n)⩽ch(n)$$
由此可证 $f+g=O(h)$。

1.2 设 $n,a,b$ 为正整数, 证明下述性质:

$$\lceil \frac{\lceil \frac{n}{a}\rceil }{b}\rceil =\lceil \frac{n}{ab}\rceil ,\lfloor \frac{\lfloor \frac{n}{a}\rfloor }{b}\rfloor =\lfloor \frac{n}{ab}\rfloor$$

证明：

当$n$为$ab$的整数倍时，设$n=pab$，命题1和命题2的等式左右两边化简后均为$p$，命题显然成立。

当$n$不是$ab$的整数倍时，设$n=pab+r(0＜r＜ab)$，

命题1等式左边进行如下化简：
$$\lceil \frac{\lceil \frac{n}{a}\rceil }{b}\rceil =\lceil \frac{\lceil \frac{pab+r}{a}\rceil }{b}\rceil =\lceil \frac{pb+\lceil \frac{r}{a}\rceil }{b}\rceil =\lceil p+\frac{\lceil \frac{r}{a}\rceil }{b}\rceil =p+\lceil \frac{\lceil \frac{r}{a}\rceil }{b}\rceil =p+1$$
命题1等式右边进行如下化简：
$$\lceil \frac{n}{ab}\rceil =\lceil \frac{pab+r}{ab}\rceil =\lceil p+\frac{r}{ab}\rceil =p+\lceil \frac{r}{ab}\rceil =p+1$$
由此可证
$$\lceil \frac{\lceil \frac{n}{a}\rceil }{b}\rceil =\lceil \frac{n}{ab}\rceil$$
同理对命题2等式左边进行化简：
$$\lfloor \frac{\lfloor \frac{n}{a}\rfloor }{b}\rfloor =\lfloor \frac{\lfloor \frac{pab+r}{a}\rfloor }{b}\rfloor =\lfloor \frac{pb+\lfloor \frac{r}{a}\rfloor }{b}\rfloor =\lfloor p+\frac{\lfloor \frac{r}{a}\rfloor }{b}\rfloor =p+\lfloor \frac{\lfloor \frac{r}{a}\rfloor }{b}\rfloor =p$$
对命题2等式右边进行化简：
$$\lfloor \frac{n}{ab}\rfloor =\lfloor \frac{pab+r}{ab}\rfloor =\lfloor p+\frac{r}{ab}\rfloor =p+\lfloor \frac{r}{ab}\rfloor =p$$
由此可证
$$\lfloor \frac{\lfloor \frac{n}{a}\rfloor }{b}\rfloor =\lfloor \frac{n}{ab}\rfloor$$

1.3 对于下面每个函数 $f(n)$, 用 Θ 符号表示成 $f(n)=\Theta (g(n))$ 的形式, 其中 $g(n)$ 要尽可能简洁. 比如 $f(n)=n^2+2n+3$ 可以写成 $f(n)=\Theta (n^2)$. 然后按照阶递增的顺序将这些函数进行排列:

$$\begin{array}{c}(n-2)!,5\log (n+100{)}^{10},2^{2n},0.001n^4+3n^3+1,(\ln n{)}^2\\ n^{1/3}+\log n,3^n,\log (n!),\log \left(n^{n+1}\right),1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\end{array}$$

解：

下表格从上到下按照函数的阶递增的顺序排列：

Θ表达式	函数
$\Theta (\log n)$	$1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n},5\log (n+100{)}^{10}$
$\Theta \left({\log }^{2}n\right)$	$\ln n{)}^2$
$\Theta (\sqrt[3]{n})$	$n^{1/3}+\log n,3^n$
$\Theta (n\log n)$	$\log \left(n^{n+1}\right),\log (n!)$
$\Theta \left(n^4\right)$	$0.001n^4+3n^3+1$
$\Theta \left(3^n\right)$	$3^n$
$\Theta \left(4^n\right)$	$2^{2n}$
$\Theta ((n-2)!)$	$(n-2)!$

1.4 求解以下递推方程:

$$\{\begin{array}{c}T(n)=T(n-1)+n^2\\ T(1)=1\end{array}$$

解：

由递推公式$T(n)=T(n-1)+n^2$不断迭代可得
$$\begin{gathered} T(n)=n^2+(n-1{)}^2+\cdots +2^2+T(1) \\ =1+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\Theta \left(n^3\right) \end{gathered}$$

1.5 求解以下递推方程:

$$\{\begin{array}{c}T(n)=9T(n/3)+n\\ T(1)=1\end{array}$$

解：

已知$a=9,b=3,f(n)=n$，运用主定理可得
$$T(n)=\Theta \left(n^{{\log }_{3}9}\right)=\Theta \left(n^2\right)$$

1.6 求解以下递推方程:

$$\{\begin{array}{c}T(n)=T\left(\frac{n}{2}\right)+T\left(\frac{n}{4}\right)+cn,c\text{ 为常数 }\\ T(1)=1\end{array}$$

解：

对该递推方程构建递归树求解，可得第x个递归层复杂度总和为${\left(\frac{3}{4}\right)}^{x-1}cn$

由此可得
$$\begin{gathered} T(n)=T\left(\frac{n}{2}\right)+T\left(\frac{n}{4}\right)+cn=T\left(\frac{n}{4}\right)+2T\left(\frac{n}{8}\right)+T\left(\frac{n}{16}\right)+\frac{3cn}{4}+cn \\ =cn+\frac{3cn}{4}+{\left(\frac{3}{4}\right)}^{2}cn+\cdots =\left[1+\frac{3}{4}+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+\cdots \right]cn=\Theta (n) \end{gathered}$$