1、题目

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

 

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

 

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 200

2、题目分析

dp五部曲

1.定状态：（思考是否满足动规的3个特性）
dp数组：dp[n][m]；
下标的含义：i，j表示走到第i行第j列方格 的最小路径和

2.推方程：（分场景推导方程）
若 当前是首行，dp[0][j] = dp[0][j - 1] + nums[0][j]; （首行的方格只有一种办法可达，即横向的走）
若 当前是首列，dp[i][0] = dp[i - 1][0] + nums[i][0]; （首列的方格只有一种办法可达，即纵向的走）
若 i>=1,j>=1，dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + nums[i][j]; （即第i行j列的方格，可以从上面走下来，或者从左边走下来）

3.初始化
dp数组第0行、及第0列的值都是1。表示从[0][0]开始，首行只有横向走这一种方法可达；而首列也只有纵向走这一种方法可达。
非首行、首列的方格，则有2个来路，从上而来、或从左而来

4.遍历
由第2点的状态转移方程可知，本状态可由2个方向的状态转移而来：左、上。故i从小到大、j从小到大

5.举例

3、复杂度最优解代码示例

    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int n = grid.length;
        int m = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[n][m];
        // 踩坑：开发完未初始化dp[0][0]，其实dp[0][0]没有前面状态，应该等于grid[0][0]自己
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        }

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[n - 1][m - 1];
    }

4、抽象与扩展

通用动态规划的解法，见标题二