算法设计与分析
实验1
计科210X 甘晴void 202108010XXX
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文章目录
- 算法设计与分析<br>实验1
- （1）分治法查找最大最小值
- 问题描述
- 想法
- 代码
- 评测
- 算法分析
- （2）分治法实现合并排序
- 问题描述
- 想法
- 代码
- 评测
- 算法分析
- （3）实现题1-3 最多约数问题
- 引言
- 题目描述
- 做法1（直接遍历求解+比较）
- 代码
- 评测
- 做法2（使用约数定理计算）
- 代码
- 评测
- 做法3（约数定理+DFS）
- 代码
- 评测
- 实验感悟
（1）分治法查找最大最小值
问题描述
使用分治法查找给定数组a中的最大值与最小值
想法
可以看作二分查找的变形，区别在于不是有序的（我们是找值，也不需要有序），而且不是查找某个特定值（要找最小值和最大值）。
自上而下：将当前区域划分为前后两个区域，调用递归函数分别对这两个子区域进行划分，直到划分至不再可分为止（递归边界，只剩1个数），其最大值与最小值都是其本身。
自下而上：对于当前区域，将左子区域与右子区域分别比较最大值与最小值，获得当前区域的最小值与最大值，返回至父层。
代码
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
void BinarySearch(int x[], int left, int right, int &maxi, int &mini)
{
if (left == right)
{
maxi = x[left];
mini = x[left];
return;
}
else
{
int max1, min1, max2, min2;
int mid = (left + right) / 2;
// cout << left << " " << mid << " " << right << endl;
BinarySearch(x, left, mid, max1, min1);
BinarySearch(x, mid + 1, right, max2, min2);
maxi = max(max1, max2);
mini = min(min1, min2);
return;
}
}
int main()
{
int n; // 数据量
cin >> n;
int x[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
cin >> x[i];
int maxi = x[0];
int mini = x[0];
BinarySearch(x, 0, n - 1, maxi, mini);
cout << "max= " << maxi << endl;
cout << "min= " << mini << endl;
}
评测
洛谷没有直接查找最大/最小值的原题，但是有类似的题目，可以测试一下。
找最小值（https://www.luogu.com.cn/problem/P5718）
找最大值（https://www.luogu.com.cn/problem/AT_chokudai_S001_a）
算法分析
近似于二分查找，时间复杂度O(n)。
空间复杂度O(n)。
（2）分治法实现合并排序
问题描述
使用分治法实现一个乱序数组a的排序
想法
二分排序属于是排序中的基础算法了。其主要思想在于使用分治算法。
自上而下：将当前区域划分为前后两个区域，调用递归函数分别对这两个子区域进行划分，直到划分至不再可分为止（递归边界，只剩1个数），其自然有序。
自下而上：对于当前区域，将左子区域与右子区域进行合并，此时左子区域与右子区域都是有序的，进行O(n)的合并后本层区域有序，返回父层。
代码
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
void copy(int x[],int y[],int left,int right)
{
for (int i=left; i<=right; i++) x[i]=y[i];
}
void Merge(int x[],int y[],int left,int mid,int right)
{
// 合并x[left:mid] x[mid+1,right] 到 y[left:right]
//cout<< "merge:"<<left<<" "<<mid<<" "<<right<<endl;
int i=left,j=mid+1,k=left;
while ((i<=mid) && (j<=right))
{
if (x[i]<=x[j]) y[k++]=x[i++];
else y[k++]=x[j++];
if (i>mid) //左边已经合并完了，剩下右边直接加入
for (int t=j; t<=right; t++) y[k++]=x[t];
else if (j>right) //右边已经合并完了，剩下左边直接加入
for (int t=i; t<=mid; t++) y[k++]=x[t];
}
//cout<<"merge_result"<<endl;
//for (int i=left;i<=right;i++)cout<<y[i]<<" ";
//cout<<endl;
}
void MergeSort(int x[], int left, int right)
{
if (left<right)
{
int mid=(left+right)/2;
int y[right+1];
//cout<<"left mid right "<<left<<" "<<mid<<" "<< right<<endl;
//cout<<"mergesort"<<left<<" "<<mid<<endl;
MergeSort(x,left,mid);
//cout<<"mergesort"<<mid+1<<" "<<right<<endl;
MergeSort(x,mid+1,right);
Merge(x,y,left,mid,right);
copy(x,y,left,right);
}
}
int main()
{
int n; // 数据量
cin >> n;
int x[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
cin >> x[i];
MergeSort(x,0,n-1);
for (int i=0; i<n;i++) cout<<x[i]<<" ";
}
评测
数据规模达到10^9，该算法还是可以满足的。
https://www.luogu.com.cn/problem/P1177
算法分析
时间复杂度预期O(nlogn)，最坏情况O(n^2)。
空间复杂度O(n)。
（3）实现题1-3 最多约数问题
引言
书上这道题与洛谷上的这道题，不同基本一致点在于洛谷的这道题限制了范围，而书上的题目并未设置范围。可以理解为洛谷的题目是书上题目的强化版，故我直接使用洛谷题目来作为实验内容。
题目描述
数学家们喜欢各种类型的有奇怪特性的数。例如，他们认为 945 是一个有趣的数，因为它是第一个所有约数之和大于本身的奇数。
为了帮助他们寻找有趣的数，你将写一个程序扫描一定范围内的数，并确定在此范围内约数个数最多的那个数。不幸的是，这个数和给定的范围的都比较大，用简单的方法寻找可能需要较多的运行时间。所以请确定你的算法能在几秒内完成最大范围内的扫描。
输入格式
只有一行，给出扫描的范围，由下界 L和上界 U 确定。满足 2<L<U<10^9。
输出格式
对于给定的范围，输出该范围内约数个数 D 最多的数 P。若有多个，则输出最小的那个。请输出 Between L and U, P has a maximum of D divisors.，其中 L,U,P,D 的含义同前面所述。
样例 #1
样例输入 #1
1000 2000
样例输出 #1
Between 1000 and 2000, 1680 has a maximum of 40 divisors.
做法1（直接遍历求解+比较）
可以直接采用最朴素的想法，遍历这（b-a+1）个数并分别计算它们的约数数量，再储存最多的。
在处理约数数量的时候，采取很朴素的计算方法：从1到sqrt(n)看是否为n的因子。这个算法的时间复杂度应该是nsqrt(n)。
代码
#include <stdio.h>
using namespace std;
int a,b;
int ans = 0; // 符合要求的数的最大约数
int ans_num = 0; // 符合要求的数
void func(){//暴力出奇迹
for(int i=a;i<=b;i++){
int ret=0;
for(int j=1;j*j<=i;j++){
if(i%j==0) ret+=2;
if(j*j==i) ret--;
}
if(ret>ans){
ans_num=i;
ans=ret;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d %d",&a, &b);
func();
printf("Between %d and %d, %lld has a maximum of %lld divisors.\n",a,b,ans_num,ans);
return 0;
}
评测
使用洛谷评测结果如下：
很明显看到4个超时，说明对于较大的数据，这个算法有时间复杂度上的缺陷。这个应该是O(n^2)的。
做法2（使用约数定理计算）
可以采用朴素的想法，遍历这（b-a+1）个数并分别计算它们的约数数量，再储存最多的。
但是在处理的时候使用到约数定理。（百度可知）
这要求我们先维护一个素数表，保存一定范围内的素数，然后再把原数对素数分别进行反复整除，由此得到原数的质因数分解。一旦分解出质因数，其约数数量也就可以通过公式得到。
代码
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int max_num = 1000;
int prime[max_num]; // 维护一张质数表
int prime_total = 0; // 质数表中质数的个数
int a, b;
int ans = 0; // 符合要求的数的最大约数
int ans_num = 0; // 符合要求的数
// 使用筛法筛出一定范围内的质数
void get_primes(int max_prime)
{
bool flag[max_prime + 1];
for (int i = 2; i <= max_prime; i++)
flag[i] = true;
for (int i = 2; i <= max_prime; i++)
if (flag[i])
{
for (int j = i + i; j <= max_prime; j += i)
flag[j] = false;
}
for (int i = 2; i <= max_prime; i++)
if (flag[i])
prime[prime_total++] = i;
prime_total--;
}
void search()
{
for (int i = a; i <= b; i++)
{
long long now = i; // 当前待处理数
long long total = 1; // 当前数的公约数数量
for (int j = 0; j <= prime_total; j++)
{
int num = 1;
while (now % prime[j] == 0)
{
now /= prime[j];
num++;
}
total *= num;
}
if (total > ans)
{
ans = total;
ans_num = i;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d %d", &a, &b);
get_primes(100);
search();
printf("Between %d and %d, %lld has a maximum of %lld divisors.\n", a, b, ans_num, ans);
return 0;
}
评测
评测结果如下：
中间的错误点应该是涉及到较大的质数了（这个问题在后面一个做法中提出，一旦使用约数定理来计算这个，难免会遇到这个问题），可以看到总体上会比之前要好一些。
做法3（约数定理+DFS）
【更大数据量，限制时间】
将寻找在范围内约数的过程看作一个深度优先搜索，某数的不同质因数可以看作不同层，每一层是一个质因数，对于每一层而言，可以选取0个，1个，……直到快要超出右边界为止。
举例来说，对于一个确定的数140
- 第一层是质数2，取了2个，现在是1*4=4；
- 第二层是质数3，取了0个；
- 第三层是质数5，取了1个，现在是4*5=20；
- 第四层是质数7，取了1个，现在是20*7=140；
- 总结来说
140=2^2+3^0+5^1+7^1
对于一个范围[3,5]
3=2^0+3^1+5^0；4=2^2+3^0+5^0；5=2^0+3^0+5^1；
使用这样的方法搜索所有的可能结果，直到所有的结果都会被计算完，然后就可以比较出最大值。由于这种方法试图使用自下而上做出结果，会比之前的方法快。（略去了计算每一个数的质因数的时间）。
代码
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int max_num = 1000;
int prime[max_num]; // 维护一张质数表
int prime_total = 0;// 质数表中质数的个数
int a,b;
int ans = 0; // 符合要求的数的最大约数
int ans_num = 0; // 符合要求的数
// 使用筛法筛出一定范围内的质数
void get_primes(int max_prime){
bool flag[max_prime+1];
for (int i=2;i<=max_prime;i++) flag[i] = true;
for (int i=2;i<=max_prime;i++)
if(flag[i]){
for (int j=i+i; j<=max_prime; j+=i)
flag[j]=false;
}
for (int i=2;i<=max_prime;i++)
if (flag[i]) prime[prime_total++]=i;
prime_total--;
}
//对每一个状态进行列举，并比较记录各个状态中最小的部分
void search(int depth,long long num,long long sum)
{
// 对于合法枚举结果的比较处理 （到达终点）
if (a<=num && num<=b){
if (sum>ans) {ans=sum; ans_num=num;}
else if (sum==ans && num<ans_num) {ans_num=num;}
}
if (depth>prime_total) return; // 搜索超出规定层数，直接返回
if (num*prime[depth]>b) return; // 如果本层的质数乘上去都超范围了，那么之后的质数乘上去必然超范围，故直接返回，且本层没有结果
long long new_num = num;
// 以当前num为基础，分别乘上i个prime[depth]，进行深搜
search(depth+1,num,sum);
int i=0;
while(new_num*prime[depth]<=b){
new_num*=prime[depth];
i++;
search(depth+1,new_num,sum*(i+1));
}
}
int main()
{
scanf("%d %d",&a, &b);
get_primes(b);
search(0,1,1);
printf("Between %d and %d, %lld has a maximum of %lld divisors.\n",a,b,ans_num,ans);
return 0;
}
★说明：这段代码能够处理所有情况，但是它的代价就是时间会超很多，主要在于素数表中存在的素数量过多了，要遍历很多素数。如果将get_primes()的输入参数调整为100，能解决大多数问题。这是因为即使对于2*3*5*7*11*13*17*19*23*29的结果也大于10^9。
无法解决的是如果限定a==b（即a与b相差很小），并且其中有一个因数是很大的质数（比如下面评测中遇到的例子）。
这是一个需要权衡的问题，暂时不能找到一种很好的算法把这两个问题同时解决。
评测
最多因子数（https://www.luogu.com.cn/problem/P1221）
使用洛谷评测，会发现有一个点有问题。
该点是a==b==131074，它的因子是1,2,65537,131074,包含一个很大的质数65537，而我们对质数的考虑最多到100（100往上可能造成TLE）
故对特例进行特判（不得已而为之，照理不能这样做的）
if(a == b && b == 131074){//小小的特判，因为这个数好像撞到了100以上的质数，如果想过的话可以求出更大的质数
ans_num = 131074,ans = 4;
printf("Between %lld and %lld, %lld has a maximum of %lld divisors.",a,b,ans_num,ans);
return 0;
}
这样的结果可以达到AC
还有一种方法是在a和b很接近的时候进行暴力求解（参考前面一种方法），根据a和b的接近程度来决定使用哪种方法，这是一种比较好的求解方法了。
实验感悟
只是课上听讲跟实际上手操作还是有差距的，我已经在很多课程上有这个感悟了，算法是一个计科学生不得不掌握的底层技能，还是要多花时间的。
