第 13 章图

文章目录

13.1 图基本介绍
- 13.1.1 为什么要有图
- 13.1.2 图的举例说明
13.2 图的表示方式
- 13.2.1 邻接矩阵
- 13.2.2 邻接表
13.3 图的快速入门案例
13.4 图的深度优先遍历介绍
- 13.4.1 图遍历介绍
- 13.4.2 深度优先遍历基本思想
- 13.4.3 深度优先遍历算法步骤
- 13.4.4 深度优先算法的代码实现
13.5 图的广度优先遍历
- 13.5.1 广度优先遍历基本思想
- 13.5.2 广度优先遍历算法步骤
- 13.5.3 广度优先算法的图示
13.6 广度优先算法的代码实现
13.7 图的代码汇总
13.8 图的深度优先VS 广度优先

13.1 图基本介绍

13.1.1 为什么要有图

前面我们学了线性表和树
线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
树也只能有一个直接前驱也就是父节点
当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图。

13.1.2 图的举例说明

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。如图：
在这里插入图片描述

13.1.3 图的常用概念

顶点(vertex)
边(edge)
路径
无向图(右图
有向图
带权图

13.2 图的表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

13.2.1 邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 row 和 col 表示的是 1 n
个点。
在这里插入图片描述

13.2.2 邻接表

邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
举例说明

13.3 图的快速入门案例

要求: 代码实现如下图结构.
思路分析
(1) 存储顶点 String 使用 ArrayList
(2) 保存矩阵 int[][] edges

代码实现

 //插入结点
	public void insertVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}
	//添加边
	/**
	 * 
	 * @param v1 表示点的下标即使第几个顶点  "A"-"B" "A"->0 "B"->1
	 * @param v2 第二个顶点对应的下标
	 * @param weight 表示 
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		edges[v1][v2] = weight;
		edges[v2][v1] = weight;
		numOfEdges++;
	}

13.4 图的深度优先遍历介绍

13.4.1 图遍历介绍

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历

13.4.2 深度优先遍历基本思想

图的深度优先搜索(Depth First Search) 。

深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
显然，深度优先搜索是一个递归的过程

13.4.3 深度优先遍历算法步骤

访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。
查找结点 v 的第一个邻接结点 w。
若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。
若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。
查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。
分析图

在这里插入图片描述

13.4.4 深度优先算法的代码实现

 //深度优先遍历算法
	//i 第一次就是 0
	private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
		//首先我们访问该结点,输出
		System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
		//将结点设置为已经访问
		isVisited[i] = true;
		//查找结点i的第一个邻接结点w
		int w = getFirstNeighbor(i);
		while(w != -1) {//说明有
			if(!isVisited[w]) {
				dfs(isVisited, w);
			}
			//如果w结点已经被访问过
			w = getNextNeighbor(i, w);
		}
		
	}
	
	//对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
	public void dfs() {
		isVisited = new boolean[vertexList.size()];
		//遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
		for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if(!isVisited[i]) {
				dfs(isVisited, i);
			}
		}
	}

13.5 图的广度优先遍历

13.5.1 广度优先遍历基本思想

图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

13.5.2 广度优先遍历算法步骤

访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。
结点 v 入队列
当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
出队列，取得队头结点 u。
查找结点 u 的第一个邻接结点 w。
若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：

若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。
结点 w 入队列
查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。

13.5.3 广度优先算法的图示

在这里插入图片描述

13.6 广度优先算法的代码实现

	//对一个结点进行广度优先遍历的方法
		private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
			int u ; // 表示队列的头结点对应下标
			int w ; // 邻接结点w
			//队列，记录结点访问的顺序
			LinkedList queue = new LinkedList();
			//访问结点，输出结点信息
			System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
			//标记为已访问
			isVisited[i] = true;
			//将结点加入队列
			queue.addLast(i);
			
			while( !queue.isEmpty()) {
				//取出队列的头结点下标
				u = (Integer)queue.removeFirst();
				//得到第一个邻接结点的下标 w 
				w = getFirstNeighbor(u);
				while(w != -1) {//找到
					//是否访问过
					if(!isVisited[w]) {
						System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
						//标记已经访问
						isVisited[w] = true;
						//入队
						queue.addLast(w);
					}
					//以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
					w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
				}
			}
			
		} 
		
		//遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
		public void bfs() {
			isVisited = new boolean[vertexList.size()];
			for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
				if(!isVisited[i]) {
					bfs(isVisited, i);
				}
			}
		}

13.7 图的代码汇总

	 package com.atguigu.graph;
	
	import java.util.ArrayList;
	import java.util.Arrays;
	import java.util.LinkedList;
	
	public class Graph {
	
		private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合
		private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵
		private int numOfEdges; //表示边的数目
		//定义给数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
		private boolean[] isVisited;
		
		public static void main(String[] args) {
			//测试一把图是否创建ok
			int n = 8;  //结点的个数
			//String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
			String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
			
			//创建图对象
			Graph graph = new Graph(n);
			//循环的添加顶点
			for(String vertex: Vertexs) {
				graph.insertVertex(vertex);
			}
			
			//添加边
			//A-B A-C B-C B-D B-E 
	//		graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
	//		graph.insertEdge(0, 2, 1); // 
	//		graph.insertEdge(1, 2, 1); // 
	//		graph.insertEdge(1, 3, 1); // 
	//		graph.insertEdge(1, 4, 1); // 
			
			//更新边的关系
			graph.insertEdge(0, 1, 1);
			graph.insertEdge(0, 2, 1);
			graph.insertEdge(1, 3, 1);
			graph.insertEdge(1, 4, 1);
			graph.insertEdge(3, 7, 1);
			graph.insertEdge(4, 7, 1);
			graph.insertEdge(2, 5, 1);
			graph.insertEdge(2, 6, 1);
			graph.insertEdge(5, 6, 1);
	
			
			
			//显示一把邻结矩阵
			graph.showGraph();
			
			//测试一把，我们的dfs遍历是否ok
			System.out.println("深度遍历");
			graph.dfs(); // A->B->C->D->E [1->2->4->8->5->3->6->7]
	//		System.out.println();
			System.out.println("广度优先!");
			graph.bfs(); // A->B->C->D-E [1->2->3->4->5->6->7->8]
			
		}
		
		//构造器
		public Graph(int n) {
			//初始化矩阵和vertexList
			edges = new int[n][n];
			vertexList = new ArrayList<String>(n);
			numOfEdges = 0;
			
		}
		
		//得到第一个邻接结点的下标 w 
		/**
		 * 
		 * @param index 
		 * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
		 */
		public int getFirstNeighbor(int index) {
			for(int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
				if(edges[index][j] > 0) {
					return j;
				}
			}
			return -1;
		}
		//根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
		public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
			for(int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
				if(edges[v1][j] > 0) {
					return j;
				}
			}
			return -1;
		}
		
		//深度优先遍历算法
		//i 第一次就是 0
		private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
			//首先我们访问该结点,输出
			System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
			//将结点设置为已经访问
			isVisited[i] = true;
			//查找结点i的第一个邻接结点w
			int w = getFirstNeighbor(i);
			while(w != -1) {//说明有
				if(!isVisited[w]) {
					dfs(isVisited, w);
				}
				//如果w结点已经被访问过
				w = getNextNeighbor(i, w);
			}
			
		}
		
		//对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
		public void dfs() {
			isVisited = new boolean[vertexList.size()];
			//遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
			for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
				if(!isVisited[i]) {
					dfs(isVisited, i);
				}
			}
		}
		
		//对一个结点进行广度优先遍历的方法
		private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
			int u ; // 表示队列的头结点对应下标
			int w ; // 邻接结点w
			//队列，记录结点访问的顺序
			LinkedList queue = new LinkedList();
			//访问结点，输出结点信息
			System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
			//标记为已访问
			isVisited[i] = true;
			//将结点加入队列
			queue.addLast(i);
			
			while( !queue.isEmpty()) {
				//取出队列的头结点下标
				u = (Integer)queue.removeFirst();
				//得到第一个邻接结点的下标 w 
				w = getFirstNeighbor(u);
				while(w != -1) {//找到
					//是否访问过
					if(!isVisited[w]) {
						System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
						//标记已经访问
						isVisited[w] = true;
						//入队
						queue.addLast(w);
					}
					//以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
					w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
				}
			}
			
		} 
		
		//遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
		public void bfs() {
			isVisited = new boolean[vertexList.size()];
			for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
				if(!isVisited[i]) {
					bfs(isVisited, i);
				}
			}
		}
		
		//图中常用的方法
		//返回结点的个数
		public int getNumOfVertex() {
			return vertexList.size();
		}
		//显示图对应的矩阵
		public void showGraph() {
			for(int[] link : edges) {
				System.err.println(Arrays.toString(link));
			}
		}
		//得到边的数目
		public int getNumOfEdges() {
			return numOfEdges;
		}
		//返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
		public String getValueByIndex(int i) {
			return vertexList.get(i);
		}
		//返回v1和v2的权值
		public int getWeight(int v1, int v2) {
			return edges[v1][v2];
		}
		//插入结点
		public void insertVertex(String vertex) {
			vertexList.add(vertex);
		}
		//添加边
		/**
		 * 
		 * @param v1 表示点的下标即使第几个顶点  "A"-"B" "A"->0 "B"->1
		 * @param v2 第二个顶点对应的下标
		 * @param weight 表示 
		 */
		public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
			edges[v1][v2] = weight;
			edges[v2][v1] = weight;
			numOfEdges++;
		}
	}