一、问题总览

实现de Casteljau算法来绘制由4个控制点表示的Bézier曲线。需要修改main.cpp中的如下函数：

• bezier：该函数实现绘制Bézier曲线的功能。它使用一个控制点序列和一个OpenCV::Mat对象作为输入，没有返回值。它会使t在0到1的范围内进行迭代，并在每次迭代中使t增加一个微小值。对于每个需要计算的t，将调用另一个函数recursive_bezier，然后该函数将返回在Bézier曲线上t处的点。最后，将返回的点绘制在OpenCV::Mat 对象上。
• recursive_bezier：该函数使用一个控制点序列和一个浮点数t作为输入，实现de Casteljau 算法来返回Bézier曲线上对应点的坐标。

二、参考答案

2.1 算法思想

De Casteljau 算法说明如下：

1. 考虑一个p0, p1, … pn 为控制点序列的Bézier曲线。首先，将相邻的点连接
   起来以形成线段。
2. 用t : (1 − t) 的比例细分每个线段，并找到该分割点。
3. 得到的分割点作为新的控制点序列，新序列的长度会减少一。
4. 如果序列只包含一个点，则返回该点并终止。否则，使用新的控制点序列并转到步骤1。

使用[0,1] 中的多个不同的t来执行上述算法

• 例子如下
  

  • $b_0$, $b_1$, $b_2$为三个参考点；
    • 在 $b_0{b}_1$ 上找一点$b_0^1$，使得 $b_0{b}_0^1$ : $b_0^1{b}_1$ = t : (1 - t)
    • $b_1^1$ 同理
  • $b_0^1$ 与 $b_1^1$ 作为新的参考点，找点$b_0^2$，使比例关系满足t : (1 - t)
  • $b_0^2$ 就是贝塞尔曲线上的一点，使用[0,1] 中的多个不同的t来执行上述算法

2.2 代码实现

2.2.1 Bezier函数的实现

• t=0 -> t=1, 调用de Casteljau算法

//cv::Mat &window：表示屏幕矩阵;矩阵内元素为CV_8UC3类型(无符号8位整数，RGB三通道，cv::Vec3b)
void bezier(const std::vector<cv::Point2f> &control_points, cv::Mat &window) 
{
    // TODO: Iterate through all t = 0 to t = 1 with small steps, and call de Casteljau's 
    // recursive Bezier algorithm.
    for(double t = 0.0; t < 1.0; t += 0.001){
        cv::Point2f point = recursive_bezier(control_points, t);
        // 绘制坐标(point.y, point.x)的颜色为绿色，[1]表示RGB中的G
        window.at<cv::Vec3b>(point.y, point.x)[1] = 255;
    }
}

2.2.2 Recursive_bezier函数的实现

• 实现de Casteljau 算法来返回Bézier曲线上对应点的坐标

//cv::Point2f  float类型的二维点坐标
cv::Point2f recursive_bezier(const std::vector<cv::Point2f> &control_points, float t) 
{
    // TODO: Implement de Casteljau's algorithm
    if(control_points.size() == 1) return control_points[0];
    std::vector<cv::Point2f> next_layer_control_points;
    for(int i = 0; i < control_points.size() - 1; i++){
        cv::Point2f p0 = control_points[i];
        cv::Point2f p1 = control_points[i+1];
        cv::Point2f p2 = p0 + t * (p1 - p0);
        next_layer_control_points.push_back(p2);
    }
    return recursive_bezier(next_layer_control_points, t);
}

2.2.3 实现对贝塞尔曲线的反走样(奖励分数)

• 对于一个曲线上的点，不只把它对应于一个像
  素，需要根据到像素中心的距离来考虑与它相邻的像素的颜色
  

  • P是贝塞尔曲线上t对应的一点，P0是周围四个像素区域的交点，像素框的中心点为其余四个黑点
  • 像素外框都是处于window矩阵整数部分(默认一个window单元格为一个像素)，所以p所在的像素框的较近一竖边为min(floor(p.x), ceil(p.x))，横边min(floor(p.y), ceil(p.y))
    • 计算出p0坐标( min(floor(p.x), ceil(p.x))，min(floor(p.y), ceil(p.y)) )
  • 由于像素框大小为1 * 1，所以知道P0之后可以计算出周围四个像素中心点坐标
  • 根据像素中心点到P点的距离来分配颜色
    • 比如距离p点距离为dist，则该点所在像素的G通道 = 255 * (3 - dist)/3
      • 使用的是哈夫曼距离，p离像素中心点最大哈夫曼距离为3

double get_dist(cv::Point2f point1, cv::Point2f point2){//计算两点的哈夫曼距离
    return fabs(point1.x - point2.x) + fabs(point1.y - point2.y);
}

//cv::Mat &window：表示屏幕矩阵;矩阵内元素为CV_8UC3类型(无符号8位整数，RGB三通道，cv::Vec3b)
void bezier(const std::vector<cv::Point2f> &control_points, cv::Mat &window) 
{
    // TODO: Iterate through all t = 0 to t = 1 with small steps, and call de Casteljau's 
    // recursive Bezier algorithm.
    for(double t = 0.0; t < 1.0; t += 0.001){
        cv::Point2f point = recursive_bezier(control_points, t);
        cv::Point2f point0( std::min(floor(point.x), ceil(point.x)), std::min(floor(point.y), ceil(point.y)) );
        double dist;
        std::vector<double> bias{0.5, -0.5};
        for(int i = 0; i < 4; i++){
            cv::Point2f centerPoint(point0.x + bias[i % 2], point0.y + bias[i % 2]);//计算中心点
            dist = get_dist(point, centerPoint);
            window.at<cv::Vec3b>(centerPoint.y, centerPoint.x)[1] = 255 * (3 - dist) / 3;
        } 
    }
}

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三、编译

如往常一样

$ mkdir build
$ cd build
$ cmake ..
$ make


$ ./BezierCurve  

通过点击屏幕来设置控制点

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附件

作业4连接