最佳平方逼近

$$\sum _{k=0}^n{W}_k(f(x_k)-\varphi (x_k){)}^2=\min$$
$$\stackrel{\text{节点非常多时}}{\to }{\int }_a^b\rho (x)(f(x)-\varphi (x){)}^2\mathrm{d}x=\min$$
$$\varphi (x)\text{为拟合函数},\rho (x)\text{为权函数},都已知$$
解正规方程组：
$$\left[\begin{array}{ccc}({\varphi }_0,{\varphi }_0)& \cdots & ({\varphi }_0,{\varphi }_m)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ ({\varphi }_m,{\varphi }_0)& \cdots & ({\varphi }_m,{\varphi }_m)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}({\varphi }_0,f)\\ ⋮\\ ({\varphi }_m,f)\end{array}\right]$$
其中
$$(h,g)={\int }_a^b\rho (x)h(x)g(x)\mathrm{d}x$$
解出的 $\varphi (x)$ 为 $f(x)$ 的最佳平方逼近函数。

[!example]-
求 $f(x)=x^4$ 在 $[-1,1]$ 上关于权函数 $\rho (x)=1$ 的二次最佳平方逼近多项式。
解：设 $\varphi (x)=a+bx+c{x}^2$ ，则基函数
$${\varphi }_0(x)=1,{\varphi }_1(x)=x,{\varphi }_2(x)=x^2$$
内积空间：
M = span { 1 , x , x 2 } M= \text{span}\lbrace 1,x,x^2\rbrace M=span{1,x,x2}
对应的法方程组：
$$\left[\begin{array}{ccc}({\varphi }_0,{\varphi }_0)& ({\varphi }_0,{\varphi }_1)& ({\varphi }_0,{\varphi }_2)\\ ({\varphi }_1,{\varphi }_0)& ({\varphi }_1,{\varphi }_1)& ({\varphi }_1,{\varphi }_2)\\ ({\varphi }_2,{\varphi }_0)& ({\varphi }_2,{\varphi }_1)& ({\varphi }_2,{\varphi }_2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}({\varphi }_0,f)\\ ({\varphi }_1,f)\\ ({\varphi }_2,f)\end{array}\right]$$
用内积公式：
$$(h,g)={\int }_{-1}^{1}h(x)g(x)\mathrm{d}x$$
有：
$$\begin{array}{rl}({\varphi }_0,{\varphi }_0)=& {\int }_{-1}^1\mathrm{d}x=2\\ ({\varphi }_0,{\varphi }_1)=({\varphi }_1,{\varphi }_0)=& {\int }_{-1}^{1}x\mathrm{d}x=0\\ ({\varphi }_1,{\varphi }_2)=({\varphi }_2,{\varphi }_1)=& {\int }_{-1}^1{x}^3\mathrm{d}x=0\\ ({\varphi }_1,{\varphi }_1)=({\varphi }_0,{\varphi }_2)=({\varphi }_2,{\varphi }_0)=& {\int }_{-1}^1{x}^2\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\\ ({\varphi }_2,{\varphi }_2)=& {\int }_{-1}^1{x}^4\mathrm{d}x=\frac{2}{5}\\ ({\varphi }_0,f)=& {\int }_{-1}^1{x}^4\mathrm{d}x=\frac{2}{5}\\ ({\varphi }_1,f)=& {\int }_{-1}^1{x}^5\mathrm{d}x=0\\ ({\varphi }_2,f)=& {\int }_{-1}^1{x}^6\mathrm{d}x=\frac{2}{7}\end{array}$$
所以法方程组为：
$$\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 2/3\\ 0& 2/3& 0\\ 2/3& 0& 2/5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2/5\\ 0\\ 2/7\end{array}\right]$$
解得：
$$a=-\frac{3}{35},b=0,c=\frac{6}{7}$$
$$\therefore \varphi (x)=-\frac{3}{35}+\frac{6}{7}{x}^2$$

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最佳逼近

勒让德多项式逼近

因为用 ${\varphi }_0,{\varphi }_1,{\varphi }_2(1,x,x^2)$ 计算量大，而且易出现病态方程（解不出）
所以需要一种法方程矩阵简单的基函数，所以用勒让德多项式
$$\begin{array}{rl}{p}_0=& 1\\ p_1=& x\\ p_2=& \frac{1}{2}(3x^2-1)\\ p_3=& \frac{1}{2}(5x^3-3x)\\ p_4=& \frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)\\ & \\ p_{n+1}=& \frac{2n+1}{n+1}x{p}_n-\frac{n}{n+1}{p}_{n-1}\end{array}$$
$$(p_i,p_j)=\{\begin{array}{ll}0& ,i\ne j\\ & \\ 2/(2j+1)& ,i=j\end{array}$$
使得发方程矩阵为对角阵。
适用条件 $[-1,1]$
对于 $f(x),x\in [a,b]$ 可以将
$$x=\frac{(a+b)}{2}+\frac{(b-a)}{2}t$$
用 $t$ 替代，则 $t\in [-1,1]$

[!example]-
求 $f(x)=x^4$ 在 $[-1,1]$ 上关于权函数 $\rho (x)=1$ 的二次最佳平方逼近多项式。
解：使用勒让德多项式列出法方程组
$$\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2/3& 0\\ 0& 0& 2/5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}(p_0,f)\\ (p_1,f)\\ (p_2,f)\end{array}\right]$$
$$\begin{array}{rl}(p_0,f)=& {\int }_{-1}^{1}1\cdot x^4\mathrm{d}x=\frac{2}{5}\\ (p_1,f)=& {\int }_{-1}^{1}x\cdot x^4\mathrm{d}x=0\\ (p_2,f)=& {\int }_{-1}^1\frac{1}{2}(3x^2-1)x^4\mathrm{d}x=\frac{8}{35}\end{array}$$
$$\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2/3& 0\\ 0& 0& 2/5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2/5\\ 0\\ 8/35\end{array}\right]$$
解出
$$a=\frac{1}{5},b=0,c=\frac{4}{7}$$
逼近函数
$$S(x)=\frac{1}{5}+\frac{2}{7}(3x^2-1)=-\frac{3}{35}+\frac{6}{7}{x}^2$$
与最佳平方逼近得到的结果是一样的。

切比雪夫多项式逼近

针对权函数为
$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
范围 $x\in [-1,1]$ ，
$$T_n(x)=\cos (n\cdot \arccos (x))=2x{T}_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)$$
$$\begin{array}{rl}(T_0,T_0)=& \pi \\ (T_1,T_1)=& \frac{\pi }{2}=(T_2,T_2)\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{T}_0=& 1\\ T_1=& x\\ T_2=& 2x^2-1\\ T_3=& 4x^3-3x\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}(T_0,f)=& {\int }_{-1}^{1}f(x)\cdot 1\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x\\ (T_1,f)=& {\int }_{-1}^{1}f(x)\cdot x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x\\ (T_2,f)=& {\int }_{-1}^{1}f(x)\cdot (2x^2-1)\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{P}_n(x)=& T_0\frac{(T_0,f)}{(T_0,T_0)}+T_1\frac{(f,T_1)}{(T_1,T_1)}+\cdots +T_n\frac{(f,T_n)}{(T_n,T_n)}\\ =& \frac{(T_0,f)}{\pi }+\cdots \end{array}$$

matlab画切比雪夫多项式的函数图像

xx = linspace(-1,1,100)
a = ones(size(xx));
T(1,:) = a
T(2,:) = xx
for i = 3:6
    T(i,:) = 2.*xx.*T(i-1,:)-T(i-2,:)
end
for i = 1:5
    plot(xx,T(i,:));
    hold on
end