fmincon函数求解非线性超越方程的学习记录

news2024/11/15 15:41:56

最近的算法中用到了fmincon函数，寻找多变量非线性方程最小值的函数；因此学习一下；

fmincon函数的基础语法如下所示：

fmincon函数是为了求解下列方程的最小值；

b 和 beq 是向量，A 和 Aeq 是矩阵，c(x) 和 ceq(x) 是返回向量的函数，f(x) 是返回标量的函数。f(x)、c(x) 和 ceq(x) 可以是非线性函数。x、lb 和 ub 可以作为向量或矩阵传递；

1 应用一：求解线性不等式约束方程

x= fmincon(fun,x0,A,b),从 x0 开始，尝试在满足线性不等式 A*x<b 的情况下寻找 fun 中所述的函数的最小值点 x。x0 可以是标量、向量或矩阵。

代码实例：

fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

x0 = [-1,2];
A = [1,2];
b = 1;
x = fmincon(fun,x0,A,b)

代码功能：

函数： f [x(1),x(2)] = 100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

从点[-1，2]开始求最小值，约束方程为： x(1)+2x(2) <= 1 。这个方程的系数矩阵为 [1,2]，最大值为1，因此设置 A = [1,2] , b = 1 ，最终函数以 A*x < b 形式表达此约束。

代码运行结果：

这个应用是较为简单的，总之就是通过fun设置函数；通过A和b的值设置约束方程；通过x0设值参数 x(1)和 x(2)的最小值；函数输出的结果x就是函数在满足约束条件达到最小值时的x(1)和 x(2)的大小；

2 应用二：线性不等式和等式共同约束的极值求解

在既有线性不等式约束又有线性等式约束的情况下求 Rosenbrock 函数的最小值。

将目标函数 fun 设置为 Rosenbrock 函数。

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) : 在满足线性等式 Aeq * x = beq 以及不等式 A*x<b 的情况下最小化 fun。如果不存在不等式，则设置 A = [] 和 b = []。

代码实例：

fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

x0 = [0.5,0];
A = [1,2];
b = 1;
Aeq = [2,1];
beq = 1;
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)

代码功能：

函数： fun = 100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

从点 [0.5,0] 开始求最小值，约束为 x(1)+2x(2)≤1 和 2x(1)+x(2)=1。

以 A = [1,2] 和 b = 1 为条件，以 A*x <= b 形式表达线性不等式约束。这个方程的系数矩阵为 [1,2]，最大值为1，因此设置 A = [1,2] , b = 1 ，最终函数以 A*x < b 形式表达此约束。
以 Aeq = [2,1] 和 beq = 1 为条件，以 Aeq*x = beq 形式表达线性等式约束。这个方程的系数矩阵为 [2,1]，方程值 =1 ，因此设置 Aeq = [2,1] , beq = 1 ，最终函数以 Aeq*x = beq 形式表达此约束。

代码运行结果：

3 应用三：具有边界约束的极值求解

在存在边界约束的情况下，求目标函数的最小值。目标函数是具有两个变量的简单代数函数。

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) ：对 x 中的设计变量定义一组下界和上界，使解始终在 lb ≤ x ≤ ub 范围内。如果不存在等式，请设置 Aeq = [] 和 beq = []。如果 x(i) 无下界，请设置 lb(i) = -Inf，如果 x(i) 无上界，请设置 ub(i) = Inf。

代码实例：

fun = @(x)1+x(1)/(1+x(2)) - 3*x(1)*x(2) + x(2)*(1+x(1));
% x 为正值且满足 x(1) ≤ 1 和 x(2) ≤ 2 的区域。
lb = [0,0];
ub = [1,2];
% 无任何线性约束
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
%尝试使用一个位于区域中部的初始点
x0 = (lb + ub)/2;
%输出结果
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

代码功能：

函数： fun = 1+x(1)/(1+x(2)) - 3*x(1)*x(2) + x(2)*(1+x(1));

无任何约束，但是 x的值存在边界条件: x 为正值且满足 x(1) ≤ 1 和 x(2) ≤ 2 , 即 x(1)的下界为0，上界为1，x(2)的下界为0，上界为2；因此设置下界与上界的矩阵 lb = [0,0]; ub = [1,2]; 表达此边界条件，最终输出结果；

值得注意的是初始点的选取；目前是尝试使用一个位于区域中部的初始点，即x0 = (lb + ub)/2;这个值不同将会影响系统的输出结果，因为求解函数的单个方向收敛的，这个初值的设置需要参考不同函数进行独立的设计。

代码运行结果：

3 应用四：具有非线性约束的极值求解

在非线性约束下求函数的最小值，这个非线性约束是指那些既不是边界、也不是线性等式、也不是不等式的情况，比如某个函数在某个区域内的极小值，这个区域是一个圆或者是一个正方型区域，这个限制条件就是非线性的约束条件；

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) ：求解非线性约束 nonlcon 函数下函数极值；满足 nonlcon 所定义的非线性不等式 c(x) 或等式 ceq(x)。fmincon 进行优化，以满足 c(x) ≤ 0 和 ceq(x) = 0。如果不存在边界，请设置 lb = [] 和/或 ub = []。

代码实例：在边界约束下求 Rosenbrock 函数在圆内最小的点，理想输出结果是x1 = 0.5，x2 = 0.25

fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
%  x1 = [0 0.5] , x2 = [0.2 0.8] 区域内寻找
lb = [0,0.2];
ub = [0.5,0.8];

%没有线性约束，因此将这些参数设置为 []。
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];

%选择一个满足所有约束的初始点。
x0 = [1/4,1/4];

%求解输出（尾部定义非线性约束）
nonlcon = @circlecon;
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

%同时在以 [1/3,1/3] 为圆心、半径为 1/3 的圆内寻找。将以下代码复制到您的 MATLAB® 路径上名为 circlecon.m 的文件中。

function [c,ceq] = circlecon(x)
c = (x(1)-1/3)^2 + (x(2)-1/3)^2 - (1/3)^2;
ceq = [];
end

代码功能：在边界约束下求 Rosenbrock 函数在圆内最小的点

无任何线性约束，仅存在一个约束条件：极值必须在以 [1/3,1/3] 为圆心、半径为 1/3 的圆内寻找。

非常值得注意的是这个 nonlcon函数的撰写；

c = (x(1)-1/3)^2 + (x(2)-1/3)^2 - (1/3)^2; 这是所需圆的表达式；由于该函数规定必须是满足 c(x) ≤ 0 。因此要表示在圆内，将原本圆的表达式是： (x(1)-1/3)^2 + (x(2)-1/3)^2 =(1/3)^2，转换为c = (x(1)-1/3)^2 + (x(2)-1/3)^2 - (1/3)^2;

假如需要增加参数之间的关系：增加类似 c = x(1) - x(2)，表示 x(2)>= x(1)

ceq = []，此时不存在等式，这里选择为空即可；

这些都是单个约束条件，如果有多个约束条件就是 c(1) = ..... c(2) = ....即可

代码运行结果：