线性代数 --- 为什么LU分解中L矩阵的行列式一定等于(+-)1？

news2024/11/17 23:35:33

以下是关于下三角矩阵L的行列式一定等于+-1的一些说明

证明：在LU分解中，下三角矩阵L的行列式一定是 $\pm 1$ .

在证明之前，我这里先补充几条关于行列式的性质：

性质1：对于三角矩阵而言，不论是上三角矩阵还是下三角矩阵，其行列式的值都等于主对角线上元素的乘积。

此处引用Gilbert strang的线性代数教科书《introduction to linear algebra》中，第251页处的一段关于矩阵行列式的相应说明：

第七条性质说：如果矩阵A是一个三角矩阵，则矩阵A的行列式等于其对角线上元素的乘积。

$\mathbf{\left | A \right |=a_{11}*a_{22}*...*a_{nn}}$

性质2：两个矩阵A，B的积AB的行列式|AB|等于这两个矩阵各自的行列式|A|和|B|的积，即：

$\mathbf{\left | AB \right |=\left | A \right |\left | B \right |}$

性质3：单位矩阵I的行列式为1。

性质4：对矩阵进行行与行之间的交换后，需要改变原矩阵行列式的正负号。

在LU分解中，下三角阵L是高斯消元的逆过程，是多个消元矩阵E的逆矩阵 $E^{-1}$ 的乘积(形如下图中的矩阵)。

首先，根据上面说的性质1可知，所有消元矩阵E的逆矩阵 $E^{-1}$ 的行列式等于其对角线上所有元素的乘积。又因为矩阵 $E^{-1}$ 对角线上元素都是1，所以， $E^{-1}$ 的行列式一定等于1。此外，根据性质2，L的行列式等于多个 $E^{-1}$ 的行列的乘积，所以，L的行列式必然等于1，即：

$\left |L \right |=\left | {E_{1}}^{-1}\right |*\left | {E_{2}}^{-1}\right |*\left | {E_{3}}^{-1}\right |*...\left | {E_{n}}^{-1}\right |$

在对矩阵A进行高斯消元时，遇到对角线上的元素为0时，需要对矩阵进行行交换，使得原来的A=LU，变成PA=LU(其中P为置换矩阵)。因为置换矩阵P只不过是对单位矩阵I进行行交换后的结果，因此，综合性质3和性质4可知，置换矩阵P的行列式的值只能是+1或-1。

因此，计算出A的LU分解，并基于LU分解计算出det后，应该再根据置换矩阵P去调整det的符号。事实上，在matlab中自带的计算det的函数就是这么干的。

这是官方说明文档的截图：

按照他的官方说明，他的lu分解函数有很多种用法。只是他在计算行列式时，调用的是[L,U]=lu(A)。

这就是说，他把PA=LU变成了 $A=P^{-1}LU$ 。且，对于置换矩P而言，置换矩阵的逆等于置换矩阵的转置，因此上式又可改写为 $A=P'LU$ 。继续，按照他官方文档的说法，分解后的L矩阵和U矩阵中，只有L矩阵被置换过。

因此，我们可以把 $A=P'LU$ 看出是 $A=(P'L)U$ ，其中括号包着的就是他文中提到的“经过置换的”L矩阵。因为，置换矩阵的转置也是一个置换矩阵（或者是置换矩阵的逆也是一个置换矩阵），所以（P'L）的行列式|P'L|等于|P'|x|L|，等于(+-1)x(1)=(+-1),即：

最终我们得到 ---> 在LU分解中，下三角阵L的行列式一定是 $\pm 1$ 。此外，最终我们得到矩阵A中基于高斯消元的lu分解的行列式的完整计算方法：

$\mathbf{\left |A \right |=\left |P'LU \right |=\left | P' \right |\left | L \right |\left | U \right |=(\pm 1)*(1)*\left | U \right |=\pm\left | U \right |}$