70. 爬楼梯（进阶）

题目链接：70. 爬楼梯

改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m 个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

思路：本题是一个斐波那契的问题，但是也符合完全背包问题，这里用完全背包来解。

动态规划五步曲：

1. dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

2. 递推公式：dp[i] += dp[i - j]

3. 初始化：dp[0] = 1

   下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0不会影响结果

4. 遍历顺序：求解排列数问题，先遍历背包容量，再遍历物品

5. 举例来推导dp数组

   本题与动态规划：377. 组合总和 Ⅳ几乎是一样的，这里就不再重复举例了。

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        // dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 递推公式：dp[i] += dp[i - j]
        // 初始化
        dp[0] = 1;
        int m = 2;
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j <= m; j++) { //遍历物品
                if (i >= j) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

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322. 零钱兑换

题目链接：322. 零钱兑换

思路：动态规划五步曲：

1. dp[j]：凑足总额为j所需硬币的最少个数为dp[j]

2. 递推公式：dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1)

   凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]

   即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]），要选择最小的dp[j]。

3. 初始化：dp[0] = 0，代表凑成0需要的硬币个数为0，其他初始化成最大值。

   dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

4. 遍历顺序：本题两种遍历方式都可以，选择先遍历物品再遍历背包容量。

   本题是要求最少硬币数量，硬币是组合数还是排列数都无所谓！所以两个for循环先后顺序怎样都可以！

5. 举例推导dp数组

   以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

   

   dp[amount]为最终结果。

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        // dp[j]：凑足总额为j所需硬币的最少个数为dp[j]
        int[] dp = new int[amount + 1];
        // 递推公式：dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1)
        // 初始化
        dp[0] = 0;
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            dp[i] = max;
        }
        // 遍历顺序
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                //只有dp[j - coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
                if (dp[j - coins[i]] != max) {
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
    }
}

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279. 完全平方数

题目链接：279. 完全平方数

把题目翻译一下：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？

思路：本题与上一题思路基本相同，直接动态规划五步曲

1. dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

2. 递推公式：dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1)

   dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]，要选择最小的dp[j]。

3. 初始化：dp[0] = 0，其他初始化成最大值。

4. 遍历顺序：同样是两种遍历顺序都可以，这里选择先遍历物品再遍历背包容量

5. 举例推导dp数组

   已输入n为5例，dp状态图如下：

   

   dp[n]为最终结果。

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        // dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j])
        // 初始化
        dp[0] = 0;       
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i] = max;
        }
        // 遍历顺序
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            for (int j = i * i; j <= n; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

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