小波理论与应用：理解小波

news2024/11/30 0:39:43

1 简介

来自源的信号通常处于时域。例如正弦信号、生物医学信号等。任何时域信号都可以使用数学变换进行处理或变换到频域（谱域）。傅里叶变换是一种流行或著名的变换，它将时域信号转换为频域信号，而不失一般性。

在绘制时域信号时，在 x 轴上使用时间，在 y 轴上使用幅度。信号中存在的隐藏信息无法在时域中揭示，因此需要变换域。信号的频谱就是信号的频率内容（频谱分量）。信号的频谱描述了信号中存在的所有频率。绘制频域时，在 x 轴上使用频率，在 y 轴上使用幅度。

通常对于任何信号，如果频率成分不随时间变化，则称为平稳信号。例如正弦信号，其中频率“X”Hz 不改变，与周期无关。不幸的是，实时信号是非平稳信号，信号的频率内容不断变化。最好的例子是生物信号。假设我们正在查看 ECG（心电图）信号。心脏病专家熟知健康心电图信号的典型形状。任何与该形状的显着偏差通常被认为是病理状况的症状。医生不仅在时域中分析这些病例，他们还使用频域来确认病理状况。

2 傅立叶变换

关于频率内容或频谱的第一个也是主要的贡献来自法国数学家约翰·巴普蒂斯·傅立叶。他证明任何周期函数都可以表示为周期复指数函数的无限和，并命名为傅里叶变换（FT）。

$x (t)$ 表示时域信息， $X(j\Omega)$ 表示信号的频率内容，其中 $\Omega=2 \times \pi \times F$ ，

式1的输入信号在时间维度上与三角函数相成并相加(积分)得到频率内容。可通过下图理解：

上图展示了时间域到频率域：图中蓝色部分表示窄波段过滤(去除部分频率)。

上图展示了频率域到时间域：图中蓝色部分表示窄波段过滤(去除部分频率)。

3 短时傅里叶变换

上式表明输入信号 x(t) 通过持续时间为“ $\tau$ ”的窗口进行斩波，并进行傅里叶变换。换句话说，假设信号在间隔“ $\tau$ ”内是静止的。在信号的整个持续时间内重复此过程。现在，傅里叶变换面临的问题在某种程度上得到了解决，得到了指定窗口持续时间的频率分量。

下图显示了如何针对窗口的一步的非平稳信号采用 STFT：

现在，窗口宽度的选择在STFT中起着至关重要的作用。我们选择的窄窗口会导致频率分辨率较差而时间分辨率良好，如下图所示。

如果选择较宽的窗口，则会出现相反的效果，如下图所示：

STFT为傅里叶变换所面临的问题提供解决方案，但缺点是所使用的窗口宽度是恒定的，因此它仅提供固定的分辨率。

通常，信号可以携带低频和高频分量。为了捕获两者，需要不同宽度的窗口，而 STFT 没有提供这一点。为了更清楚地理解，STFT 中不存在多分辨率的概念。因此，需要一个新的转换来解决上述问题。解决方案是小波变换。

4 连续小波变换

小波变换背后的基本思想是，引入一种新的基（窗口）函数，可以放大或压缩该函数以捕获信号的低频和高频分量（与尺度有关）。方程如下：

$W (a, b)$ 表示小波系数， $a$ 表示尺度参数， $b$ 表示偏移参数。 $\psi(t)$ 称为母小波。不同的膨胀和平移导致不同的子小波。

任何原始数据或信号都可以用小波展开来表示。使用小波对数据的最佳表示取决于选择的最佳或接近的小波。根据文献，有许多可用的小波。 Haar 和 Daubechies 是小波的一些例子；基于高斯的小波，有Mexican hat小波和Morlet小波；在基于多项式的小波下，有Battle-lemarie、Coiflet和基于Spline的小波；在Sinc小波下，有Meyer小波和Shannon小波。

5 离散小波变换

从前面的理解可以看出，CWT是一种冗余变换，这意味着平移参数“b”和缩放参数“a”似乎是无限的，这使得它们在实现方面变得困难。 CWT 似乎总是可计算但不可实现。

小波变换的实现解决方案源自离散小波变换（DWT）。 DWT 中在二元（八度）网格上的时频平面进行采样，这使得它们在实现方面非常高效。缩放参数“a”被 $2^{−j}$ 替换，“b”与“a”成比例，即 $b = k 2^{−j}$ 。这里 ‘j’被称为缩放参数，‘k’是比例常数，在DWT中起移位参数的作用。