【专栏】数据结构复习之路
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【数据结构复习之路】图（严蔚敏版）两万余字&超详细讲解
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Dijkstra 算法讲解：
迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是：从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。
这里我直接以书P189那个例子为基础进行讲解（附带书上的源代码）
先给出算法代码，然后结合着代码来讲可能会更容易理解：
/* 迪杰斯特拉（Dijkstra) 算法*/
void ShortestPath_Dijkstra(MGraph G, int v0, Patharc path, ShortPathTable dist)
{
int v, w, k, min;
int final[MaxVerterNum]; // final[w] = 1表示求得顶点 v0 至 vw的最短路径，即已访问过顶点vw
for (v = 0; v < G.vexNum; v++)
{
final[v] = 0; // 全部顶点初始化为未知最短路径状态
dist[v] = G.Edge[v0][v]; // 将与v0点有连线的顶点加上权值
path[v] = -1; // 初始化路劲数组p为-1
}
dist[0] = 0; // v0至v0路径为0
final[0] = 1; // v0至v0不需要路径
/* 开始主循环，每次求得v0到某个顶点v的最短路径*/
for (v = 1; v < G.vexNum; v++)
{
min = INFINITY; // 当前所知离v0顶点的最近距离
for (w = 0; w < G.vexNum; w++) // 寻找离v0最近的顶点
{
if (!final[w] && dist[w] < min)
{
k = w;
min = dist[w]; // w顶点离v0顶点更近
}
}
final[k] = 1; // 将目前找到的最近的顶点置为1
for (w = 0; w < G.vexNum; w++) // 修正当前最短路径及距离
{
/* 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话 */
if (!final[w] && (min + G.Edge[k][w] < dist[w]))
{
dist[w] = min + G.Edge[k][w]; // 修改当前路径长度
path[w] = k;
}
}
}
}【1】初始化（执行上述代码前面一部分）
⚠️注意：这里的path[2] 、path[4]、path[5]没有初始化为0，主要是没必要，因为path[i] = -1，就表明 i 的前驱结点一定就是V0。
- final[i]：标记各顶点是否已找到最短路径
- dist[i]：最短路径长度
- path[i]：路径上的前驱
int v, w, k, min;
int final[MaxVerterNum]; // final[w] = 1表示求得顶点 v0 至 vw的最短路径，即已访问过顶点vw
for (v = 0; v < G.vexNum; v++)
{
final[v] = 0; // 全部顶点初始化为未知最短路径状态
dist[v] = G.Edge[v0][v]; // 将与v0点有连线的顶点加上权值
path[v] = -1; // 初始化路劲数组p为-1
}
dist[0] = 0; // v0至v0路径为0
final[0] = 1; // v0至v0不需要路径
【2】找到距离V0最近的顶点，并修改当前路径长度
/* 开始主循环，每次求得v0到某个顶点v的最短路径*/
for (v = 1; v < G.vexNum; v++)
{
min = INFINITY; // 当前所知离v0顶点的最近距离
for (w = 0; w < G.vexNum; w++) // 寻找离v0最近的顶点
{
if (!final[w] && dist[w] < min)
{
k = w;
min = dist[w]; // w顶点离v0顶点更近
}
}
final[k] = 1; // 将目前找到的最近的顶点置为1
for (w = 0; w < G.vexNum; w++) // 修正当前最短路径及距离
{
/* 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话 */
if (!final[w] && (min + G.Edge[k][w] < dist[w]))
{
dist[w] = min + G.Edge[k][w]; // 修改当前路径长度
path[w] = k;
}
}
}
【3】 重复【2】
【4】重复【2】
【5】重复【2】
到这里，dist[i]里面存的就是从V0到 Vi 的最短路径长度，而通过path[i] 就能找到最短路径。
这里V1至始至终都没有更新的原因是：V0根本走不到V1。
看完上述图解，那么书上P190那个表格你肯定就明了：
下图的S相当于 final[i]依次被确定为1的次序
这个表格建议大家要搞懂！可能有些学校会考察画图哦
⚠️注意：
迪杰斯特拉算法适用于求正权有向图中，源点到其余各个节点的最短路径。（图中可以有环，但不能有负权边）。
例如：如下图就不能使用迪杰斯特拉算法求节点 1 到其余各个节点的最短距离。
因为根据迪杰斯特拉算法，首先会更新dist[2] = 1 , final[2] = 1。由于final[2]被确定为1，即之后将不会再更新dist[2]，而根据上图，显然结点1到结点2的最短路径为-1。
显然，Dijkstra 算法是基于贪心策略的。使用邻接矩阵或者带权的邻接表表示时，时间复杂度都是：
这里的V是图里面的结点个数。
人们可能只希望找到从源点到某个特定顶点的最短路径，但这个问题和求解源点到其他所有顶点的最短路径一样复杂，时间复杂度也为
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