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1.基本介绍

蚁群算法（Ant Colony Optimization, ACO）是一种模拟自然界蚂蚁觅食行为的优化算法。它通常用于解决路径优化问题，如旅行商问题（TSP）。

蚁群算法的基本步骤

初始化：设置蚂蚁数量、信息素重要程度、启发因子重要程度、信息素的挥发速率和信息素的初始量。

构建解：每只蚂蚁根据概率选择下一个城市，直到完成一次完整的路径。

更新信息素：在每条路径上更新信息素，通常新的信息素量与路径的质量成正比。

迭代：重复构建解和更新信息素的步骤，直到达到预设的迭代次数。

2.公式化蚁群算法

1. 转移概率 $P_{ij}^k$ 表示蚂蚁$k$从城市$i$转移到城市$j$的概率。它是基于信息素强度${\tau }_{ij}$（信息素重要程度为$\alpha$和启发式信息 ${\eta }_{ij}$)（启发式信息重要程度为 $\beta$ ）计算的：

   $P_{ij}^k=\frac{[{\tau }_{ij}{]}^{\alpha }\cdot [{\eta }_{ij}{]}^{\beta }}{{\sum }_{l\in {\text{allowed}}_k}[{\tau }_{il}{]}^{\alpha }\cdot [{\eta }_{il}{]}^{\beta }}$

   其中，${\text{allowed}}_k$ 是蚂蚁 $k$ 可以选择的下一个城市集合。

2. 信息素更新规则。在每次迭代结束后，所有路径上的信息素会更新。更新规则通常包括信息素的挥发和信息素的沉积：

   ${\tau }_{ij}\leftarrow (1-\rho )\cdot {\tau }_{ij}+\Delta {\tau }_{ij}$

   其中，( $\rho$ ) 是信息素的挥发率，( $\Delta {\tau }_{ij}$ ) 是本次迭代中所有蚂蚁在路径 $(i,j)$ 上留下的信息素总量，通常计算方式为_

   $\Delta {\tau }_{ij}={\sum }_{k=1}^m\Delta {\tau }_{ij}^k$

   而对于每只蚂蚁 $k$ ，在路径$(i,j)$ 上留下的信息素量 $\Delta {\tau }_{ij}^k$ 通常与其走过的路径长度成反比：

   $$\Delta {\tau }_{ij}^k=\{\begin{array}{ll}\frac{Q}{L_k},& \text{if ant }k\text{ travels on edge }(i,j)\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$

   这里，$Q$是一个常数，$L_k$是蚂蚁$k$的路径长度。

3. 启发式信息 ( ${\eta }_{ij}$ ) 通常是目标函数的倒数，例如在TSP问题中，它可以是两城市间距离的倒数：

   ${\eta }_{ij}=\frac{1}{d_{ij}}$

   其中， $d_{ij}$ 是城市$i$和$j$ 之间的距离。

这些公式构成了蚁群算法的数学基础。通过调整参数 $\alpha$ , $\beta$, 和 $\rho$，可以控制算法的搜索行为，从而适应不同的优化问题。

3.代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

class AntColonyOptimizer:
    def __init__(self, distances, n_ants, n_best, n_iterations, decay, alpha=1, beta=1):
        # 初始化参数
        self.distances = distances  # 城市间的距离矩阵
        self.pheromone = np.ones(self.distances.shape) / len(distances)  # 初始化信息素矩阵
        self.all_inds = range(len(distances))  # 所有城市的索引
        self.n_ants = n_ants  # 蚂蚁数量
        self.n_best = n_best  # 每轮保留的最佳路径数
        self.n_iterations = n_iterations  # 迭代次数
        self.decay = decay  # 信息素的挥发率
        self.alpha = alpha  # 信息素重要程度
        self.beta = beta  # 启发因子的重要程度

    def run(self):
        # 运行算法
        shortest_path = None
        shortest_path_length = float('inf')
        for iteration in range(self.n_iterations):  # 对每次迭代
            all_paths = self.gen_all_paths()  # 生成所有蚂蚁的路径
            self.spread_pheromone(all_paths, self.n_best, shortest_path_length)  # 更新信息素
            shortest_path, shortest_path_length = self.find_shortest_path(all_paths)  # 找到最短路径
            self.plot_paths(shortest_path, iteration, shortest_path_length)  # 绘制路径
        return shortest_path, shortest_path_length

    def gen_path_dist(self, path):
        # 计算路径长度
        total_dist = 0
        for i in range(len(path) - 1):
            total_dist += self.distances[path[i], path[i+1]]
        return total_dist

    def gen_all_paths(self):
        # 生成所有蚂蚁的路径
        all_paths = []
        for _ in range(self.n_ants):
            path = [np.random.randint(len(self.distances))]  # 选择一个随机起点
            while len(path) < len(self.distances):
                move_probs = self.gen_move_probs(path)  # 生成移动概率
                next_city = np_choice(self.all_inds, 1, p=move_probs)[0]  # 选择下一个城市
                path.append(next_city)
            all_paths.append((path, self.gen_path_dist(path)))  # 添加路径和长度
        return all_paths

    def spread_pheromone(self, all_paths, n_best, shortest_path_length):
        # 更新信息素
        sorted_paths = sorted(all_paths, key=lambda x: x[1])  # 按路径长度排序
        for path, dist in sorted_paths[:n_best]:  # 只取最好的n_best条路径
            for i in range(len(path) - 1):
                self.pheromone[path[i], path[i+1]] += 1.0 / self.distances[path[i], path[i+1]]

    def find_shortest_path(self, all_paths):
        # 寻找最短路径
        shortest_path = min(all_paths, key=lambda x: x[1])  # 根据路径长度找到最短的那条
        return shortest_path[0], shortest_path[1]

    def gen_move_probs(self, path):
        # 生成移动概率
        last_city = path[-1]
        probs = np.zeros(len(self.distances))
        for i in self.all_inds:
            if i not in path:
                pheromone = self.pheromone[last_city, i] ** self.alpha
                heuristic = (1.0 / self.distances[last_city, i]) ** self.beta
                probs[i] = pheromone * heuristic
        return probs / probs.sum()

    def plot_paths(self, best_path, iteration, path_length):
        # 绘制路径
        plt.figure(figsize=(10, 6))
        for i in range(len(coords)):  # 绘制所有可能的路径
            for j in range(i+1, len(coords)):
                plt.plot([coords[i][0], coords[j][0]], [coords[i][1], coords[j][1]], 'k:', alpha=0.5)
        for i in range(len(best_path) - 1):  # 绘制最短路径
            start_city = best_path[i]
            end_city = best_path[i+1]
            plt.plot([coords[start_city][0], coords[end_city][0]], [coords[start_city][1], coords[end_city][1]], 'b-', linewidth=2)
        plt.scatter(*zip(*coords), color='red')  # 标记城市位置
        for i, coord in enumerate(coords):  # 添加城市标签
            plt.text(coord[0], coord[1], str(i), color='green')
        plt.title(f'Iteration: {iteration}, Shortest Path Length: {round(path_length, 2)}')
        plt.xlabel('X Coordinate')
        plt.ylabel('Y Coordinate')
        plt.show()

def np_choice(a, size, replace=True, p=None):
    # numpy的随机选择函数
    return np.array(np.random.choice(a, size=size, replace=replace, p=p))

# 城市坐标
coords = np.random.rand(10, 2)  # 假设有10个城市

# 计算距离矩阵
distances = np.zeros((10, 10))
for i in range(10):
    for j in range(10):
        distances[i, j] = np.linalg.norm(coords[i] - coords[j])  # 使用欧几里得距离

# 运行蚁群算法
aco = AntColonyOptimizer(distances, n_ants=10, n_best=5, n_iterations=100, decay=0.5, alpha=1, beta=2)
path, dist = aco.run()

执行结果：

$......$