算法基础之表达整数的奇怪方式

news2025/2/1 9:15:40

表达整数的奇怪方式

中国剩余定理:

求M = 所有m之积然后M_i = M / m_i
- x = 如下图满足要求

扩展中国剩余定理

找到x **使得x mod m_i = a_i**成立
- 对于每两个式子都可以推出①式
  - 即用扩展欧几里得算法 可以算出k1,-k2和m2–m1
  - 判无解 : 若**(m2–m1) % d != 0** 说明该等式无解 即原方程无解本题无解
- 找到最小正整数解
  - 已知k1的通式(如下图代入原方程可证成立) 则求最小正整数解 只要 %abs(a2/d)
- 等效替代
  - 设a₀ = gcd(a₁,a₂) , m₀ = k₁ * a₁ + m₁ 得到新的式子和原方程长得一模一样
  - 也就是说 每两个式子 都可以通过合并的方式 写成一个式子
  - 只要将所有n个式子全都合并成一个式子 x = k*a + m 就可以求解x了

  #include <iostream>
  #include <algorithm>
  
  using namespace std;
  
  typedef long long LL;
  
  LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){  //拓展欧几里得算法
      if(!b){
          x=1,y=0;
          return a;
      }
  
      LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
      y-=a/b*x;
      return d;
  }
  
  int main()
  {
      int n;
      cin>>n;
      LL x=0,m1,a1;
      cin>>a1>>m1;
      for(int i=0;i<n-1;i++){  //输入n-1次
          LL m2,a2;
          cin>>a2>>m2;
          LL k1,k2;
          LL d=exgcd(a1, a2,k1,k2);
          if((m2-m1) % d)  //无解
          {
              x = -1;
              break;
          }
          
          k1 *= (m2-m1) / d;  //k1乘相应系数
          k1 = (k1 %(a2/d) + a2 / d) % (a2/d);  //见下方注释
          
          x = k1 * a1 + m1;  //根据公式③
          //更新a1 m1 进行下一次合并
          m1 = k1 * a1 + m1;
          a1 = abs(a1 * a2 /d);
      }
  
      if(x!=-1) x=(m1%a1+a1)%a1;  //若x为负数 将x变成正数
  
      cout<<x<<endl;
      return 0;
  }