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什么是命题
注意：
例1 下列句子中那些是命题？
联结词
例2 将下列命题符号化.
注意：
例4 设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化
例5 求下列复合命题的真值
例如
真值表:
例：
什么是命题
命题：判断结果唯一的陈述句命题的真值：判断的结果真值的取值：真与假真命题与假命题注意：
感叹句、祈使句、疑问句都不是命题陈述句中的悖论，判断结果不唯一确定的不是命题
例1 下列句子中那些是命题？
(1)是有理数 .
(2) 2 + 5 = 7.(3) x + 5 > 3.(4) 你去教室吗？(5) 这个苹果真大呀！(6) 请不要讲话！(7) 2050 年元旦下大雪 .解：(1)假命题，因为其为无理数(2)真命题(3)不是命题，结果不唯一(4)不是命题，疑问句(5)不是命题，感叹句(6)不是命题，祈使句(7) 命题，真值未知
如果看不懂定义可以尝试看看我的解释，我自学的时候认为有些定义过于官方不易理解
联结词
定义 1.1 设 p 为命题，复合命题“非 p ”( 或“ p 的否定” ) 称 为 p 的 否定式 ，记作 ¬ p ，符号 ¬ 称作 否定联结词 . 规定 ¬ p 为真当且仅当 p 为假定义 1.2 设 p,q 为两个命题，复合命题“ p 并且 q ”( 或“ p 与 q ”) 称为 p 与 q 的 合取式 ，记作 p ∧ q， ∧称作 合取联结词 . 规定 p ∧ q 为真当且仅当 p 与 q 同时为真 .定义 1.3 设 p , q 为两个命题，复合命题“ p 或 q ” 称作 p 与 q 的 析取式 ，记作 p ∨ q ，∨称作 析取联结词 . 规定 p ∨ q 为假当 且仅当 p 与 q 同时为假
简单来说，¬代表否定，∧代表和，∨代表或以p,q为命题如果p为真，则 ¬p为假p∨q有一个真为真p∧q有一个假为假
例2 将下列命题符号化.
(1) 吴颖既用功又聪明 .(2) 吴颖不仅用功而且聪明 .(3) 吴颖虽然聪明，但不用功 .(4) 张辉与王丽都是三好生 .(5) 张辉与王丽是同学解：p : 吴颖用功 , q : 吴颖聪明(1) p ∧ q(2) p ∧ q(3) ¬ p ∧ qp : 张辉是三好生 , q : 王丽是三好生(4)p∧ q(5) p : 张辉与王丽是同学
定义 1.4 设 p , q 为两个命题，复合命题“如果 p , 则 q ” 称作 p 与 q 的 蕴涵式 ，记作 p → q ，并称 p 是蕴涵式的 前件 ， q 为蕴涵式的 后 件 ， → 称作 蕴涵联结词 .记住规定： p → q 为假当且仅当 p 为真 q 为假
注意：
“ 如果 p , 则 q ” 有很多不同的表述方法：若 p ，就 q只要 p ，就 qp 仅当 q只有 q 才 p除非 q , 才 p 或 除非 q ，否则非 p ， … ．当 p 为假时， p → q 恒为真，称为空证明
定义 1.5 设 p, q 为两个命题，复合命题“ p 当且仅当 q ” 称作 p 与 q 的 等价式 ，记作 p ↔ q ， ↔ 称作 等价联结词 .记住规定： p ↔ q 为真 当且仅当 p 与 q 同时为真或同时为假
例3 设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化
(1) 只要天冷，小王就穿羽绒服 .(2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服 .(3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷 .(4) 只有天冷，小王才穿羽绒服 .(5) 除非天冷，小王才穿羽绒服 .(6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷 .(7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服 .(8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候 .(1)p→ q(2)p→ q(3)p→ q(4)q→ p(5)q→ p(6)p→ q(7)q→ p(8)q→ p注意： p → q 与 ¬ q →¬ p 等值（真值相同）
例4 求下列复合命题的真值
(1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6.(2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数 .(3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起 .(4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲 .(5) 函数 f ( x ) 在 x 0 可导的充要条件是 它在 x 0 连续 .先判断两边的真值再看看是不是相同的，同真同假为真1，否则为假0(1)1(2)0(3)1(4)0(5)0
定义 1.6 合式公式(1)单个命题变项和命题常项是合式公式 , 称作 原子命题公式(2)若 A 是合式公式，则 ( ¬ A ) 也是(3)若 A , B 是合式公式，则 ( A ∧ B ), ( A ∨ B ), ( A → B ), ( A ↔ B ) 也是(4)只有有限次地应用 (1)—(3) 形成的符号串才是合式公式定义 1.7(1) 若公式 A 是单个命题变项，则称 A 为 0 层公式 .(2) 称 A 是 n +1( n ≥0) 层公式是指下面情况之一：(a) A = ¬ B , B 是 n 层公式；(b) A = B ∧ C , 其中 B , C 分别为 i 层和 j 层公式， 且 n =max( i , j ) ；(c) A = B ∨ C , 其中 B , C 的层次及 n 同 ( b ) ；(d) A = B → C , 其中 B , C 的层次及 n 同 ( b ) ；(e) A = B ↔ C , 其中 B , C 的层次及 n 同 ( b ).(3) 若公式 A 的层次为 k , 则称 A 为 k 层公式
例题：
公式 A = p , B = ¬ p , C = ¬ p → q , D = ¬ ( p → q ) ↔ r , E =(( ¬ p ∧ q ) → r ) ↔ ( ¬ r ∨ s )分别为 0 层， 1 层， 2 层， 3 层， 4 层公式
定义 1.8 设 p 1 , p 2 , … , p n 是出现在公式 A 中的全部命题变项 , 给 p 1 , p 2 , … , p n 各指定一个真值 , 称为对 A 的一个 赋值 或 解释 . 若使 A 为 1, 则称这组值为 A 的 成真赋值 ; 若使 A 为 0, 则称这组 值为 A 的 成假赋值定义 1.9 将命题公式 A 在所有赋值下取值的情况列成表 , 称作 A 的 真值表
真值表：
构造方法
找出所有命题变项，按层次从左到右排列，列举出所有真值情况，直到找出最后计算的公式真值情况
以 ( p ∨ q ) →¬ r为例
0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 成真赋值 :000,001,010,100,110成假赋值 :011,101,111真值表的用途 :求出公式的全部成真赋值与成假赋值 , 判断公式的类型
定义 1.10(1) 若 A 在它的任何赋值下均为真 , 则称 A 为 重言式 或 永真式 ; 无论如何都为真(2) 若 A 在它的任何赋值下均为假 , 则称 A 为 矛盾式 或 永假式 ; 无论如何都为假(3) 若 A 不是矛盾式 , 则称 A 是 可满足式 可真可假注意：重言式是可满足式，但反之不真
例题：
( p ∨ q ) →¬ r, ( q → p ) ∧ q → p, ¬ ( ¬ p ∨ q ) ∧ q分别为非重言式的可满足式 , 重言式 , 矛盾式
