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题目描述

给定一个包含 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，并给定每条边的容量，边的容量非负。

图中可能存在重边和自环。求从点 $S$ 到点 $T$ 的最小割。

输入格式

第一行包含四个整数 $n,m,S,T$。

接下来 $m$ 行，每行三个整数 $u,v,c$，表示从点 $u$ 到点 $v$ 存在一条有向边，容量为 $c$。

点的编号从 $1$ 到 $n$。

输出格式

输出点 $S$ 到点 $T$ 的最小割。

如果从点 $S$ 无法到达点 $T$ 则输出 $0$。

数据范围

$2\le n\le 10000$,
$1\le m\le 100000$,
$0\le c\le 10000$,
$S\ne T$

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思路

最大流最小割定理

对于任意一个流网络 $G=(V,E)$ 都满足：

1. 可行流 $f$ 是最大流。

$$\iff$$

2. 可行流 $f$ 的残量网络中不存在增广路。

$$\iff$$

3. $\exists [\text{S},\text{T}],|f|=c(\text{S},\text{T})$。

证明：

• $1\Rightarrow 2$：反证法。假设 $f$ 是最大流，且 $G_f$ 存在增广路径。这说明 $G_f$ 存在至少一个流量大于 $0$ 的可行流 $f^{\prime }$。这样能构造出原网络中另一个可行流 $f+f^{\prime }$，且 $|f+f^{\prime }|>|f|$，说明 $f$ 不是最大流，与假设矛盾。
• $2\Rightarrow 3$：构造一个割，使得它在残量网络中不存在增广路径，且 $|f|=c(\text{S},\text{T})$。定义集合 $\text{S}$ 为在 $G_f$ 中从 $S$ 出发，沿容量大于 $0$ 的边走能走到的所有的点。由于残量网络中不存在增广路径，所以集合 $\text{S}$ 中不可能包含 $T$。在定义集合 $\text{T}=\text{V}-\text{S}$，即为构造的合法割。对于正向边 $(u,v)[u\in \text{S},v\in \text{T}]$，由于 $u,v$ 不相通，所以 $f^{\prime }(u,v)=0$，所以 $f(u,v)=c(u,v)$。对于反向边 $(u,v)[u\in \text{T},v\in \text{S}]$ 同理，$c^{\prime }(v,u)=0$，即 $f(u,v)=0$。发现原网络中 $\forall (u,v)(u\in \text{S},v\in \text{T})$，都有 $f(u,v)=c(u,v),f(v,u)=0$。因此 $|f|=f(\text{S},\text{T})={\sum }_{u\in \text{S}}{\sum }_{v\in \text{T}}f(u,v)-{\sum }_{u\in \text{S}}{\sum }_{v\in \text{T}}f(v,u)={\sum }_{u\in \text{S}}{\sum }_{v\in \text{T}}f(u,v)={\sum }_{u\in \text{S}}{\sum }_{v\in \text{T}}c(u,v)=c(\text{S},\text{T})$。
• $3\Rightarrow 1$：由 本文 最小割的推论中已知 $|f|\le c(\text{S},\text{T})$，且最大流是可行流的一种，所以最大流 $\le c(\text{S},\text{T})$。易知 $|f|\le$ 最大流，而 $|f|=c(\text{S},\text{T})\ge$ 最大流。即 $|f|\ge$ 最大流。综上得出 $|f|=$ 最大流。已证最大流 $\le$ 最小割，而最小割又是割的容量的最小值，得出最小割 $\le c(\text{S},\text{T})=|f|\le$ 最大流，即最小割 $\le$ 最大流，最终得出最大流 = 最小割。

因此要求最小割，只需求原图的最大流即可。

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Dinic 算法其实是 EK 算法的一个暴力的优化，EK 算法每次只能搜索一条增广路径，而 Dinic 算法每次都用 DFS 的形式尽可能多的搜索增广路径。

而图中可能存在环，为了保证 DFS 的过程中不会造成死循环，这里可以使用分层图，这样每次都是一层一层往下搜索，就不会出现死循环。

1. BFS 建立分层图
2. DFS 找出所有能增广的路径
3. 累加最大流量

注意： Dinic 算法对于优化非常敏感，如果优化的不好就可能直接 TLE

算法时间复杂度 $O(n^{2}m)$

AC Code

$\text{C}++$

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 10010, M = 200010;
const int INF = 1e9;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], f[M], idx;
int d[N], q[N], cur[N];
// d[] 存分层图中每个点的深度
// q[] 手写队列
// cur[] 当前弧优化

inline void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ; // 正向边
    e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ; // 反向边，用于反悔
}

bool bfs()
{
    memset(d, -1, sizeof d); // 记得初始化
    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = S, d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    // 将源点加入队列，源点深度为0，初始化源点当前弧为表头

    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (d[j] == -1 && f[i]) // 存在增广路才能从这里分层
            {
                d[j] = d[t] + 1; // 更新深度
                cur[j] = h[j]; // 所有点当前弧最开始都是表头
                if (j == T) return true; // 如果找到汇点了就说明有增广路
                q[ ++ tt] = j;
            }
        }
    }
    return false; // 没有增广路
}

int find(int u, int lim) // DFS，u是当前点，lim是u之前的路径能流过的最大值
{
    if (u == T) return lim; // 如果已经流到汇点了就返回这个最大值
    int flow = 0; // 当前往下流的流量
    for (int i = cur[u]; ~i && flow < lim; cur[u] = i, i = ne[i])
    // 注意应从当前弧开始遍历，并且每次要更新。没有剩余流量也应该退出
    {
        int j = e[i];
        if (d[j] == d[u] + 1 && f[i])
        // 按分层图遍历，防止死循环
        {
            int t = find(j, min(f[i], lim - flow));
            // 找到后面能流的最大值
            if (!t) d[j] = -1;
            // 如果没有流量那么说明后面没有增广路了，这个点不会用到，将深度设为-1
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
            // 当前边减流量，反向边加流量，实际流量加流量
        }
    }
    return flow;
}

int dinic()
{
    int r = 0, flow = 0;
    while (bfs()) while ((flow = find(S, INF))) r += flow;
    // 只要存在增广路就一直DFS，直到DFS出的流量为0
    return r;
}

int main()
{
    int a, b, c;
    memset(h, -1, sizeof h);

    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);
    while (m -- )
    {
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }

    printf("%d\n", dinic());
    return 0;
}

---

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