前言

随机梯度下降法 (Stochastic Gradient Descent，SGD) 是一种梯度下降法的变种，用于优化损失函数并更新模型参数。与传统的梯度下降法不同，SGD每次只使用一个样本来计算梯度和更新参数，而不是使用整个数据集。这种随机性使得SGD在大型数据集上更加高效，因为它在每次迭代中只需要处理一个样本。

以下是关于随机梯度下降法的详细描述:

1. 初姶化参数：与梯度下降法类似，首先需要初始化模型的参数，通常使用随机的初始值。
2. 选代过程:

• 对于每个训练样本 $i$ :
• 计算损失函数关于当前参数的梯度，即 $\nabla f_i(\theta )$ ，其中 $f_i(\theta )$ 是针对第 $i$ 个样本的损失。
• 使用计算得到的梯度来更新模型参数： $\theta =\theta -\eta \cdot \nabla f_i(\theta )$ ，其中 $\eta$ 是学习率。

3. 重复迭代: 重复以上过程，直到达到预定的迭代次数或满足停止条件（例如梯度的范数足够小)。
   相比于传统的梯度下降法，SGD的优点包括:

• 高效：特别适用于大型数据集，因为每次迭代只使用一个样本。
• 在线学习: 可以用于在线学习，即在接收到新数据时立即更新模型。

然而，由于随机性的引入，SGD的参数更新可能会更加不稳定，因此学习率的选择变得尤为重要。为了解决这个问题，有一些SGD的变种，如Mini-batch SGD，它在每次迭代中使用小批量的样本来计算梯度。这样可以在保持高效性的同时减小参数更新的方差。

正文

对于给出的函数 $f(x)$ :
$$f(x)=x(1{)}^2+x(2{)}^2-2\cdot x(1)\cdot x(2)+\sin (x(1))+\cos (x(2))$$

1. 初始化参数: 随机选择初始参数 $x$ ，通常使用某种随机的初始值。
2. 选择学习率: 选择一个适当的学习率 $\eta$ ，这是一个重要的超参数，影响着参数更新的步长。
3. 设置迭代次数和停止条件: 确定迭代次数的上限或设置停止条件，例如当梯度的范数小于某个容许误差时停止迭代。
4. 随机梯度下降选代:

• 对于每次迭代 $t$ ，从训练集中随机选择一个样本 $i$ 。
• 计算该样本的梯度: $\nabla f_i\left(x^{(t)}\right)$
• 使用梯度更新参数： $x^{(t+1)}=x^{(t)}-\eta \cdot \nabla f_i\left(x^{(t)}\right)$
• 检查是否满足停止条件。如果满足，停止迭代；否则，继续下一次迭代。

5. 输出结果: 输出最终的参数 $x$ ，以及在最优点的目标函数值 $f(x)$ 。

代码实现

可运行代码

% 定义目标函数
f = @(x) x(1)^2 + x(2)^2 - 2*x(1)*x(2) + sin(x(1)) + cos(x(2));

% 定义目标函数的梯度
grad_f = @(x) [2*x(1) - 2*x(2) + cos(x(1)); 2*x(2) - 2*x(1) - sin(x(2))];

% 设置参数
learning_rate = 0.01;
max_iterations = 1000;
tolerance = 1e-6;

% 初始化起始点
x = [0; 0];

% 随机梯度下降
for iteration = 1:max_iterations
    % 随机选择一个样本
    i = randi(2);
    % 计算梯度
    gradient = grad_f(x);
    % 更新参数
    x = x - learning_rate * gradient;
    % 检查收敛性
    if norm(gradient) < tolerance
        break;
    end
end

% 显示结果
fprintf('Optimal solution: x = [%f, %f]\n', x(1), x(2));
fprintf('Optimal value of f(x): %f\n', f(x));
fprintf('Number of iterations: %d\n', iteration);

结果