题目

标题和出处

标题：二叉树着色游戏

出处：1145. 二叉树着色游戏

难度

6 级

题目描述

要求

两位玩家参与二叉树着色游戏。给定二叉树的根结点 $\text{root}$，以及树中的结点数目 $\text{n}$，$\text{n}$ 是奇数且每个结点的值从 $\text{1}$ 到 $\text{n}$ 各不相同。

初始时，第一位玩家选择一个值 $\text{x}$，满足 $\text{1}\le \text{x}\le \text{n}$，第二位玩家选择一个值 $\text{y}$，满足 $\text{1}\le \text{y}\le \text{n}$ 且 $\text{y}\ne \text{x}$。第一位玩家将值为 $\text{x}$ 的结点涂上红色，第二位玩家将值为 $\text{y}$ 的结点涂上蓝色。

之后从第一位玩家开始，两位玩家轮流操作。每一轮，玩家选择自己颜色的结点（第一位玩家选择红色，第二位玩家选择蓝色），将所选结点的一个未涂色的相邻结点（左子结点、右子结点或者父结点）涂上颜色。

当且仅当一位玩家无法按照该规则选择结点时，该玩家必须跳过当前轮次。如果两位玩家都跳过当前轮次，游戏结束，涂色结点更多的玩家是获胜方。

你是第二位玩家。如果可能选择一个 $\text{y}$ 确保你赢得游戏，返回 $\text{true}$。如果不可能，返回 $\text{false}$。

示例

示例 1：

输入：$\text{root = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11], n = 11, x = 3}$
输出：$\text{true}$
解释：第二位玩家可以选择值为 $\text{2}$ 的结点。

示例 2：

输入：$\text{root = [1,2,3], n = 3, x = 1}$
输出：$\text{false}$

数据范围

• 树中结点数目是 $\text{n}$
• $\text{1}\le \text{x}\le \text{n}\le \text{100}$
• $\text{n}$ 是奇数
• $\text{1}\le \text{Node.val}\le \text{n}$
• 树中的所有值各不相同

解法

思路和算法

由于二叉树中的结点数目是 $n$，每个结点的值从 $1$ 到 $n$ 各不相同，$1\le x\le n$，因此二叉树中存在唯一的值为 $x$ 的结点，该结点称为结点 $x$。

首先使用深度优先搜索在二叉树中定位到结点 $x$，结点 $x$ 将二叉树中的其余 $n-1$ 个结点分成三个部分：结点 $x$ 的左子树、结点 $x$ 的右子树和其余结点，每个部分各为一个连通区域，不同部分之间不连通，每个部分的结点数最少为 $0$，最多为 $n-1$，三个部分的结点数总和为 $n-1$。

根据游戏规则，每一位玩家在分别选择第一个涂色的结点之后，每次选择涂色的结点都必须和己方已经涂色的结点相邻，因此同一位玩家涂色的结点一定总是相连的。由于结点 $x$ 被第一位玩家涂色，因此第二位玩家选择的结点 $y$ 一定属于三个部分之一，且当第二位玩家选择结点 $y$ 之后，只能在同一个部分继续涂色。

第二位玩家为了赢得游戏，选择的结点 $y$ 应该使得己方可以涂色的结点数最多，因此结点 $y$ 应该位于结点数最多的一个部分。只要结点 $y$ 和结点 $x$ 相邻，第二位玩家即可确保结点 $y$ 所在的部分的所有结点都可以由第二位玩家涂色。为了使得结点 $y$ 和结点 $x$ 相邻，结点 $y$ 应为结点 $x$ 的左子结点、右子结点或者父结点，由于结点 $y$ 所在的部分的结点数一定大于 $0$，因此结点 $y$ 不为空。

除了结点 $y$ 所在的部分以外，其余结点都由第一位玩家涂色，因此判断第二位玩家是否可以赢得游戏的依据是结点 $y$ 所在的部分的结点数是否大于其余结点数总和。由于二叉树中的结点数目 $n$ 是奇数，因此第二位玩家可以赢得游戏等价于结点 $y$ 所在的部分的结点数至少为 $\frac{n+1}{2}$。

由于第二位玩家选择的结点 $y$ 应该位于结点数最多的一个部分，因此只需要判断三个部分的结点数中的最大值是否至少为 $\frac{n+1}{2}$，即可知道第二位玩家是否可以赢得游戏。

计算三个部分的结点数的方法为：对结点 $x$ 的左子树和右子树分别使用深度优先搜索计算结点数，左子树和右子树的结点数分别记为 $\text{leftCount}$ 和 $\text{rightCount}$，剩下的一个部分的结点数为 $n-1-\text{leftCount}-\text{rightCount}$。只要有一个部分的结点数至少为 $\frac{n+1}{2}$，则返回 $\text{true}$，否则返回 $\text{false}$。

代码

class Solution {
    TreeNode xNode;

    public boolean btreeGameWinningMove(TreeNode root, int n, int x) {
        search(root, x);
        int threshold = (n + 1) / 2;
        int leftCount = countSubtreeNodes(xNode.left);
        if (leftCount >= threshold) {
            return true;
        }
        int rightCount = countSubtreeNodes(xNode.right);
        if (rightCount >= threshold) {
            return true;
        }
        int remain = n - 1 - leftCount - rightCount;
        return remain >= threshold;
    }

    public void search(TreeNode node, int x) {
        if (xNode != null || node == null) {
            return;
        }
        if (node.val == x) {
            xNode = node;
            return;
        }
        search(node.left, x);
        search(node.right, x);
    }

    public int countSubtreeNodes(TreeNode node) {
        if (node == null) {
            return 0;
        }
        return 1 + countSubtreeNodes(node.left) + countSubtreeNodes(node.right);
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉树的结点数。定位到结点 $x$ 和计算二叉树每个部分的结点数的过程中，每个结点最多被访问一次。

• 空间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉树的结点数。空间复杂度主要是递归调用的栈空间，取决于二叉树的高度，最坏情况下二叉树的高度是 $O(n)$。