1、聚类概述

聚类（Clustering）是指将不同的对象划分成由多个对象组成的多个类的过程，由聚类产生的数据分组，同一组内的对象具有相似性，不同组的对象具有相异性，它是一类机器学习基础算法的总称，聚类的核心计算过程是将数据对象集合按相似程度划分成多个类，划分得到的每个类称聚类的簇。
簇（Cluster）是由距离邻近的对象组合而成的集合。聚类的最终目标是获得紧凑、独立的簇集合。一般采用相似度作为聚类的依据，两个对象的距离越近，其相似度就越大。
由于聚类时待划分的类别未知，即训练数据没有标签，因此聚类的准确率相对于分类而言较低一点，但是聚类最大的特点是可以发现新知识、新规律，因此，聚类也是了解未知世界的一种重要手段。聚类可以单独实现，通过划分寻找数据内在分布规律，也可以作其他学习任务的前驱过程。
由于聚类使用的数据是无标记的，因此聚类属于非监督学习。聚类本质上仍然是对数据类别进行划分的问题，但是由于没有固定的类别标准，因此聚类的核心问题是如何定义簇。最常用的方法是依据样本间距离、样本的空间分布密度等来确定。按照簇的定义和聚类的方式，聚类大致分为以下几种：K-Means 为代表的簇中心聚类、基于连通性的层次聚类、以EM算法为代表的概率分布聚类、以 DBSCAN 为代表的基于网格密度的聚类，以及高斯混合聚类等。

2、K-Means聚类算法原理

K-Means 聚类算法也称为K均值聚类算法，是典型的聚类算法。对于给定的数据集和需要划分的类数k，算法根据距离函数进行迭代处理，动态地把数据划分成k个簇（即类别），直到收敛为止。簇中心也称为聚类中心。
K-Means 聚类的优点是算法简单、运算速度快，即便数据集很大计算起来也较便捷。不足之处是如果数据集较大，容易获得局部最优的分类结果，而且所产生的类的大小相近，对噪声数据也比较敏感。
K-Means 算法的实现过程较为简单，首先选取k个数据点作为初始的簇中心，即聚类中心。初始的聚类中心也被称作种子。然后，逐个计算各数据点到各个聚类中心的距离，把数据点分配到离它最近的簇。一次选代之后，所有的数据点都会分配给某个簇。再根据分配结果计算出新的聚类中心，并重新计算各数据点到各种子的距离，根据距离重新进行分配。不断重复计算和重新分配的步骤，直到分配不再发生变化或满足终止条件为止。
算法的整体流程如下：

随机选择k个点作为聚类中心
while 不满足终止条件：
	for 数据集中的每个数据点：
		for k个聚类中心：
			计算每个点到每个聚类中心的距离
		比较滞后将数据点分配到最近的聚类中心
	for 每个簇：
		对聚类中心进行更新，更新为簇内所有点的均值

在上述过程中，终止条件一般可以设置为循环次数或者较小的误差值等。

由于聚类对划分的类别没有固定的定义，因此也没有固定的评价指标，一般来说聚类算法的理想目标是类内距离最小，类间的距离最大，因此，通常依此目标建立K-Means 聚类的目标函数。
假设数据集X包含n个数据点，需要划分到k个类。聚类中心用集合U表示。聚类后所有数据点到各自聚类中心的差的平方和为聚类平方和，用J表示，则J值的计算过程如下：

聚类的目标就是使J值最小化，如果在多次迭代之后，J值不再发生变化，说明簇的分配不再发生变化，算法已经收敛。另外计算每个点到聚类中心的距离一般采用欧氏距离进行计算。

3、K-Means聚类实现

3.1 基于SKlearn实现K-Means聚类

SKlearn的cluster模块中提供的KMeans类可以帮助实现K-means聚类，其语法格式如下：

sklearn.cluster.KMeans(n_clusters=8,init='k-means++',n_init=10,max_iter=300,tol=0.0001,precompute_distances='auto',verbose=0,random_state=None,copy_x=True,n_jobs=None,algorithm='auto')

在上述格式中，n_clusters表示要形成的簇的数目，即类的数量，为可选项，默认为8；init用于接收待定的string，k-means++表示该初始化策略选择的初始均值向量之间都距离比较远，它的效果较好；n_init表示用不同种子运行K-Means 算法的次数，默认为10；max_iter表示单次运行的K-Means 算法的最大迭代次数，默认300；tol表示算法收敛的阈值；precompute_distances可选参数为Boolean或auto，表示是否提前计算好样本之间的距离；verbose表示是否输出日志信息，取值为0时表示不输出，取值越大，打印次数越频繁；random_state表示随机数生成器的种子；copy_x表示在进行距离计算前，是否要将数据居中以提高计算准确性，True表示不修改数据；n_jobs表示任务使用的CPU数量；algorithm表示对K-Means经典算法的选择。

返回KMeans 対象的属性主要有：
cluster_centers_：数组类型，各个簇中心的坐标。
labels_：每个数据点的标签。
inertia_：浮点型，数据样本到它们最接近的聚类中心的距腐平方和。
n_iter_：运行的选代改数。

KMeans类主要提供三个方法，功能及语法格式分别如下：
fit方法用于进行K-means聚类计算。

fit(X[,y,sample_weight])

predict方法用于预测X中的每个样本所属的最近簇。

predict(X[,sample_weight])

fit_predict用于计算簇中心，并预测每个样本的所属簇。

fit_predict(X[,y,sample_weight])

例：对sklearn中提供的鸢尾花数据集进行聚类。

from sklearn import datasets
from sklearn.cluster import KMeans
iris = datasets.load_iris()    #数据导入
X = iris.data    #将特征数据作为聚类数据
y = iris.target   #保留标签
clf=KMeans(n_clusters=3)    #设置类别为3的聚类器
model=clf.fit(X)    #训练模型
predicted=model.predict(X)    #预测每个样本所属的类别
#将预测值与标签真值进行对比
print('the predicted result:\n',predicted)
print("the real answer:\n",y)

3.2 自编写方式实现K-Means聚类

除了使用SKlearn的cluster模块来实现K-Means聚类外，还可以根据实际问题采用自编写的方式来实现K-Means聚类。
例：假设某物流公司要给城市的50个客户配送货物。假设公司只有5辆货车，客户的地理坐标在testSet.txt文件中，如何进行车辆分配使得配送效率最高？
问题分析：可以使用K-Means 算法，将文件内的地址数据聚成5类，由于每类的各户地址相近，则可以分配给同一辆货车。

from numpy import *
from matplotlib import pyplot as plt    
#计算两个向量的欧式距离
def distEclud(vecA, vecB):
    return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2)))
#选K个点作为初始中心点   
def initCenter(dataSet, k):
    print('2.初始化中心点...')
    shape=dataSet.shape
    n = shape[1]  #数据集列数    
    classCenter = array(zeros((k,n)))  #数组保存中心点信息，k行n列
    #取数据集中前k个数据点作为初始聚类中心
    for j in range(n):        
        firstK=dataSet[:k,j]
        classCenter[:,j] = firstK
    return classCenter

#实现K-Means算法   
def myKMeans(dataSet,k):
    m = len(dataSet)                 #数据集行数，即样本点个数    
    clusterPoints = array(zeros((m,2)))   #使用clusterPoints保存数据点所属的簇序号以及距离，预设为（0，0）
    classCenter = initCenter(dataSet, k)  #调用initCenter函数进行各簇中心初始化
    clusterChanged = True  #用True和False表示是否要重新执行聚类的过程
    print('3.数据点距离计算以及簇的分配...')
    while clusterChanged:     #重复计算，直到簇分配不再变化
        clusterChanged = False
        #将每个数据点分配到最近的簇
        for i in range(m):   
            minDist = inf  #首先定义一个无穷大的值作为最近距离
            minIndex = -1  #预设最近的簇的序号为-1
            for j in range(k):
                distJI = distEclud(classCenter[j,:],dataSet[i,:])
                if distJI < minDist:  #如果样本点到某个簇的距离小于minDist，则将最近距离minDist以及所属簇的序号进行替换
                    minDist = distJI; minIndex = j
            if clusterPoints[i,0] != minIndex:  #如果第i个点所属的簇序号发生了改变
                clusterChanged = True  #取值为True，表示要重新进行距离计算以及簇的分配，只有当所有点的簇序号不再更新时，则不在执行此过程
            clusterPoints[i,:] = minIndex,minDist**2  #对每个点所属的的簇序号以及距离进行更新
        #重新计算簇中心   
        for cent in range(k):
            #nonzero获得数据中满足条件的的元素位置下标并返回一个数组，[0]表示将数据行数单独提取出来，ptsInClust即保存了属于每个簇的数据
            ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterPoints[:,0]==cent)[0]]  
            classCenter[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0)
    return classCenter, clusterPoints
#显示聚类结果    
def show(dataSet, k, classCenter, clusterPoints):   
    print('4.导入地图...')
    fig = plt.figure()
    #定义添加到图片中子区域的左下角坐标，宽度、高度
    rect=[0.1,0.1,1.0,1.0]
    axprops = dict(xticks=[], yticks=[])
    ax0=fig.add_axes(rect, label='ax0', **axprops)  #axprops用于接收刻度值
    imgP = plt.imread('city.png')
    #在相同区域添加axes，后面添加的axes会把前面添加的axes覆盖
    ax0.imshow(imgP)
    ax1=fig.add_axes(rect, label='ax1', frameon=False)  #frameon=False表示不显示边框
    print('5.聚类结果的展示...')
    numSamples = len(dataSet)   #对象数量
    mark = ['ok', '^b', 'om', 'og', 'sc']  
    #根据每个对象的坐标绘制点
    for i in range(numSamples): 
        #因此保存的所属簇的序号不是正整数，所以先对标签进行转换
        markIndex = int(clusterPoints[i, 0])%k  
        ax1.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])  
    #标记每个簇的中心点    
    for i in range(k):  
        markIndex = int(clusterPoints[i, 0])%k         
        ax1.plot(classCenter[i, 0], classCenter[i, 1], '^r', markersize = 12)  
    plt.show()
      
print('1.导入数据...')
dataSet=loadtxt('testSet.txt')
K=5   #类的数量
classCenter,classPoints= myKMeans(dataSet,K)
show(dataSet,K,classCenter,classPoints)

4、算法不足与解决思路

K-Means算法过程简单，实现便捷，但是该算法也存在一定的问题。

4.1 存在的问题

1、k值较难确定
大多时候并不知道数据集应该分成多少类。实际使用时，类的数量可以是经验值，也可以多次处理选取其中最优的值，或者通过类的合并或分裂得到。
2、初始聚类中心的选择对聚类结果有较大影响
例如刚刚采用自编写方式实现K-Means聚类的例子中，初始聚类中心选择的是前k个，如果将初始聚类中心修改为中间k个、后k个或者任意的k个值，所得到的结果是不同的。也就是说，初始值选择的好坏是关键性的因素，这也是K-Means 算法的一个主要问题。
3、K-Means 算法的时间开销比较大
由于算法需要重复进行计算和样本归类，又反复调整聚类中心，因此算法的时间复杂度较高。尤其当数据集比较大时，将耗费很多时间。
4、K-Means 算法的功能具有局限性
由于算法是基于距离进行分配的，当数据包含明确分开的几部分时，可以良好地划分，然而，如果数据集形状较为复杂，比如是相互存在环绕的数据集，K-Means算法就难以处理了。

4.2 常见K值确定方法

前面存在的问题主要还是存在k值的确定上，目前研究人员提出了许多确定k值的方法，常见的几种方法如下：
1、经验值
在实际问题中，大部分的样本都只会被划分成数量较少、明确的类别，因此很多时候人们会根据经验来确定k值。
2、观测值
在聚类之前，可以用绘图方法将数据集可视化，然后通过观察，人工决定将样本聚成几类。
3、肘部方法
肘部方法（Elbow Method）是将不同的模型参数与得到的结果可视化，例如拟合出折线，帮助数据分析人员选择最佳参数。
如果不同的参数对算法结果有影响，则折线图会发生变化。例如，折线图会出现拐点，类似于手臂上的“肘部”，则表示拐点位置为模型参数的关键。
4、性能指标法
通过性能指标来确定k值，例如，选取能使轮廓系数（聚类评估的方法，值越大聚类效果越好）最大的k值。

4.3 算法评估优化思路

为了进一步提高聚类效果，可以在聚类之后再进行后期处理。例如，可以对聚类结果进行评估，根据评估进行类的划分或合并。
评价聚类算法可以使用误差值，常用的评价聚类效果的指标是误差平方和SSE。SSE 的计算比较简单，统计每个点到所属的簇中心的距离的平方和。假设n代表该簇内的数据点的个数，y’表示该簇数据点的平均值，簇的误差平方和SSE 的计算公式如下：

SSE值越小，表明该簇的离散程度越低，聚类效果越好。可以根据SSE值对生成的簇进行后处理，例如，将SSE值偏大的簇进行再次划分。
在K-Means算法中，由于算法收敛到局部最优，因此不同的初始值会产生不同的聚类结果。针对这个问题，使用误差值进行后处理后，离散程度高的类被拆分，得到的聚类结果更为理想。
除了在聚类之后进行处理，也可以在聚类的主过程中使用误差进行簇划分，比如常用的二分 K-Means 聚类算法。
二分K-Means 聚类的思路是首先将所有数据点看作一个簇，然后将该簇一分为二，计算每个簇内的误差指标（如SSE值），将误差最大的簇再划分成两个簇，降低聚类误差，之后不断重复进行，直到簇的个数等于用户指定的k值为止。由此思路可以看出，二分K-Means算法能够在一定程度上解决K-Means收敛于局部最优的问题。