微积分-圆的面积和周长(1)

news2025/1/10 3:04:47

微积分

历史

先有牛顿后有天，创世之后再造仙。作为近代物理学的开山鼻祖，牛顿的贡献怎么评价都不为过。而微积分是首先被牛顿搞出来的也已经是公认的事实，牛顿在研究物理问题的时候顺带做出来的，不知是舍不得发表还是不屑于发表，直到后来莱布尼兹率先发表，牛顿忍不了，拿了两封信件来证明自己是第一个创立微积分的人。之后长达百年的争斗开始了…

第二次数学危机

莱布尼兹在推广微积分方面的贡献是很大的，他简化了牛顿微积分中的很多符号，使得微积分更容易使用。

微积分在发展过程中存在一个无穷小的概念，无穷小究竟是什么是一个争议性的问题，就连牛顿也没能给出完美的解释，于是就有了所谓的"第二次数学危机"

直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。

波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。

也也就是现在大学课程中先有极限才有微积分的内容，因为现代数学中的微积分是建立在极限理论基础之上的。

导数

在神经网络学习之导数，在里面给出了给出了基于极限的导数的定义，同时说导数还有一个别名叫做微商。这个很重要，接下来说说微商的由来。

微分

以下内容来自百度百科:

微分是一个变量在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。若函数y=f(x)在点x处有导数f’(x)存在，则y因x的变化量△x所引起的改变量是△y=f(x+△x)一f(x)=f’(x)·△x+o(△x)，式中o(△x)随△x趋于0。因此△y的线性形式的主要部分dy=f’(x)△x是y的微分。 [6]可见，微分作为函数的一种运算，是与求导（函）数的运算一致的。微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。

在这里插入图片描述

而dy=f’(x)△x，f’(x) = dy/ △x，这就是导数又叫做微商的由来。这个微商可不是网络上卖货的那个微商。

积分思想求圆的面积

通过将圆的上半部分划分成很多的小的长方形求解圆的面积。这正是以直代曲的典型应用。
在这里插入图片描述

假设圆的的半径是1

using System.Runtime.InteropServices;
double R = 1;
double dx = 0.000000001;
long segment = (long)(R / dx);
double areas = 0;
for (long i = 0; i < segment; i++)
{
    areas += 2*(Math.Sqrt((R * R -(i * dx)*(i*dx))) * dx);
}
Console.WriteLine("圆的面积 " + 2*areas);