波束延迟求和器

阵列是由一组全向阵元组成，阵元的位置为$p_n$，如下图所示：

阵元分别在对应的位置对信号进行空域采样，这样就产生了一组信号信号为$f(t,p)$,具体表示如下：

$$f(t,p)=[f(t,p_0)，f(t,p_1)，\dots ，f(t,p_{N-1}){]}^T$$

对每个阵元的输出用一个线性时不变滤波器进行处理，该滤波器的冲激响应为$h_n(\tau )$，并对所有滤波器求和，得到阵列的输出$y(t)$，如下图所示：

其中，$h_n(\tau )=\frac{1}{N}\delta (\tau +{\tau }_n)$

假设观察间隔无限长，则$y(t)$可以写为卷积积分的形式：

$$y(t)=\sum _{n=0}^{N-1}{\int }_{-\infty }^{\infty }{h}_n(t-\tau )f_n(\tau ,p_n)d\tau$$

用矢量表示为

$$y(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )f(\tau ,p)d\tau$$

其中

$$h(\tau )=[h_0(\tau )，h_1(\tau )，\dots ，h_{N-1}(\tau ){]}^T$$

在频域表示为

$$Y(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-j\omega t}dt=H(\omega )F(\omega )$$

例子：

假如输入是一个平面波，传播方向为$\alpha$，时域频率为$\omega$，$f(t)$是在坐标系原点接收到的信号，则

$$f(t,p)=[f(t-{\tau }_0)，f(t-{\tau }_1)，\dots ，f(t-{\tau }_{N-1}){]}^T$$

其中，

$${\tau }_n=\frac{{\alpha }^T{p}_n}{c}$$

$c$表示介质中的传播速度，$\alpha$是球坐标系下的一个单位矢量，表示为

$$\alpha =[-sin\theta cos\varphi ，-sin\theta sin\varphi ，-cos\theta {]}^T$$

假设阵元的位置如下所示：

波的入射方位角为45°，俯仰角为45°，波的频率为300Hz，传播速度为340m/s，时域采样率为20KHz，对每个不同阵元接收到的时域信号f显示，结果如下：

代码如下：

clc;
close all;
clear all;

P = [0,0,-1; %p0
    0,0,-0.5; %p1
    0,0,0; %p2
    0,0,0.5; %p3
    0,0,1]; %p4%阵元位置
figure(1);
scatter3(P(:,1),P(:,2),P(:,3),...
        'MarkerEdgeColor','k',...
        'MarkerFaceColor',[0 .75 .75])
view(135,10);
xlim([0,2]);ylim([0,2]);zlim([-2,2]);
title('阵元阵列示意图')

theta = 0; %平面波的入射方位角
phi = 45; %平面波的入射俯仰角

a = [-sind(phi)*cosd(theta);
    -sind(phi)*sind(theta);
    -cosd(phi)]; %a为单位矢量
c = 340; %传播速度
tau = P * a / c; %波到每个阵元上的时延

f0 = 300; %波的频率
fs = 20000; %采样频率
t = 0 : 1/fs : 2/f0; %绘制2个周期
figure(2);
for i = 1:1:5
    subplot(5,1,i);
    T = t-tau(i);
    S(i,:) = cos(2*pi*f0*T);
    plot(T,S(i,:));title(['P',num2str(i),'阵元接收到信号'])
end

在这种情况下，将每个阵元的输入信号平移，使其在时间上对齐，然后将其相加。操作流程如下图，其中包含了归一化的因子$1/N$，使其输出为$f(t)$。其中

$$h_n(\tau )=\frac{1}{N}\delta (\tau +{\tau }_n)$$

延迟-求和波数形成器

阵列流形矢量：

定义为包含阵列的所有空间特征，表示如下

$$v_k(k)=[e^{-jk{p}_0}，e^{-jk{p}_1}，\dots ，e^{-jk{p}_{N-1}}{]}^T$$

下标$k$表示参数属于$k$空间

其中$k$为波数，定义如下

$$k=\frac{2\pi }{\lambda }\alpha$$

波束的幅度为：

$$|k|=\frac{2\pi }{\lambda }$$

频率-波数响应函数

将平面波信号扩展到空时信号，则基函数为$\omega$和波束$k$的函数，具体形式如下：

$$f(t,p)=e^{j\omega t}{v}_k(k)$$

阵列处理器对一个平面波的响应为，在时域表达上为：

$$y(t,k)=H^T(\omega )v_k(k)e^{j\omega t}$$

对应到频域上为：

$$y(\omega ,k)=H^T(\omega )v_k(k)$$

阵列的空时处理完全由上式可以描述，定义为：

$${\rm Y}(\omega ,k)=H^T(\omega )v_k(k)$$

波束方向图

一个阵列的波束方向图定义的背景是平面波在一个局部均匀的介质中传播，约束为波动方程，波束方向图是用入射方向表示的频率-波数响应函数，表达如下：

$$B(\omega :\theta ,\varphi )={\rm Y}(\omega ,k){|}_{k=\frac{2\pi }{\lambda }\alpha (\theta ,\varphi )}$$

从上式可以看到，波数方向图是频率-波数响应在一个半径为$2\pi /\lambda$的球上的值。