剑指 Offer（第2版）面试题 14：剪绳子

题目来源：25. 剪绳子

解法1：动态规划

设置一个动态规划数组 vector<\int> dp(length + 1, 0)，dp[i] 表示把长度为 i 的绳子剪成 m (m>=2) 段得到的最大乘积。注意每段绳子的长度 >=1。

初始化：dp[0] = 0，dp[1] = 1。

当绳长为 i 时，我们假设剪在长度为 j(0<j<i) 的位置上，得到一段长度为 j 的绳子和一段长度为 i-j 的绳子。此时有 4 种情况：

• 两段绳子都不继续剪了：乘积为 j * (i - j)。
• 剪第一段绳子，不剪第二段绳子：乘积为 dp[j] * (i - j)。
• 不剪第一段绳子，剪第二段绳子：乘积为 j * dp[i - j]。
• 两段绳子都剪：乘积为 dp[j] * dp[i - j]。

dp[i] 为这 4 种情况种的乘积的最大值，即：dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), max(j * dp[i - j], max(dp[i - j] * dp[j], (i - j) * dp[j]))))。

答案为 dp[length]。

代码：

class Solution
{
public:
	int maxProductAfterCutting(int length)
	{
		// 特判
		if (length == 0)
			return 0;
		vector<int> dp(length + 1, 0);
		// 初始化
		dp[0] = 0;
		dp[1] = 1;
		for (int i = 2; i <= length; i++)
		{
			for (int j = 1; j < i; j++)
				dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), max(j * dp[i - j], max(dp[i - j] * dp[j], (i - j) * dp[j]))));
		}
		return dp[length];
	}
};

复杂度分析：

时间复杂度：O(length²)。

空间复杂度：O(length)，状态数组的长度为 length+1。

解法2：数学

链接：AcWing 25. 剪绳子 By yxc

代码：

class Solution
{
public:
	int maxProductAfterCutting(int length)
	{
		// 特判
		if (length < 2)
			return 0;
		if (length == 2)
			return 1;
		if (length == 3)
			return 2;
		int timesOf3 = length / 3;
		if (length - 3 * timesOf3 == 1)
			timesOf3 -= 1;
		int timesOf2 = (length - 3 * timesOf3) / 2;
		return (int)pow(3, timesOf3) * (int)pow(2, timesOf2);
	}
};

时间复杂度：O(n)。

空间复杂度：O(1)。