最小生成树（Minimum Spanning Tree）及生成MST的几种方法

news2025/2/28 20:39:51

最小生成树 (Minimum Spanning Tree)

最小生成树是图论领域的一个基本概念，适用于加权连通图，其中包括若干顶点（节点）以及连接这些顶点的边（边可以有权重）。在一个加权连通图中，生成树（Spanning Tree）是一个无环子图，它包含图中的所有顶点，并且用最少数量的边将它们连接起来。注意，无环是指子图中不存在任何边的闭环，最少数量的边意味着任意两个顶点之间有且仅有一条路径相互到达。

“最小生成树”这一术语的“最小”指的是在所有可能的生成树中，边的权重之和最小的那一个。在实际应用中，最小生成树可以帮助找到在网络设计、电路设计等方面成本最低的方案。

我们来举一个简单的例子。假设有四个城市，每两个城市之间可以修建道路相连，不同的道路成本不同，现在的目标是花最少的成本将这四个城市全部连通。最小生成树算法即是解决此类问题的有效工具。

生成最小生成树的算法

接下来，我们将介绍四个生成最小生成树的经典算法，它们分别是克鲁斯卡尔（Kruskal）算法和普里姆（Prim）算法，以及相对少见的Borůvka算法和Sollin算法。

1. 克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

克鲁斯卡尔算法是基于边的贪心策略。它的基本思想是按照边权重从小到大的顺序选择边，从而构造最小生成树。选取的边必须满足添加后不形成环路。

伪代码：

KRUSKAL(G):
  A = ∅                            // A将存储最小生成树的边
  对于G中的每个顶点v:
    MAKE-SET(v)
  将G中的所有边按权重由低到高排序
  对于每条边(u, v)按序做如下操作：
    if FIND-SET(u) ≠ FIND-SET(v):   // 检查u和v是否在树的不同分量中
      A = A ∪ {(u, v)}               // 将边(u, v)加入到A中
      UNION(u, v)                    // 将u和v的分量合并
  返回A

其中 MAKE-SET、FIND-SET 和 UNION 是不相交集合数据结构的操作，用于维护和查询顶点间是否存在环路。

2. 普里姆（Prim）算法

普里姆算法是基于点的贪心策略。在这个算法中，我们从任选的一个顶点开始构建最小生成树，逐步扩大树的范围，每一步都添加一条连接树与非树顶点且权重最小的边。

伪代码：

PRIM(G, w, r):                     // G是图，w是权重函数，r是开始顶点
  for each u ∈ G.V:
    u.key = ∞                      // 初始化所有顶点的键值为无穷大
    u.π = NIL                       // π属性用来记录最小生成树的父节点
  r.key = 0
  Q = G.V
  while Q ≠ ∅:
    u = EXTRACT-MIN(Q)             // 从Q中取出键值最小的顶点u
    for each v ∈ G.Adj[u]:         // 遍历u的所有邻居v
      if v ∈ Q and w(u, v) < v.key:
        v.π = u                     // 更新v的父节点为u
        v.key = w(u, v)             // 更新v的键值为u与v之间边的权重

在Prim算法中，EXTRACT-MIN(Q)是优先队列的操作，它用于选择权重最小的边，而G.Adj[u]表示图中与顶点u相邻的所有顶点集合。

3. Borůvka算法

Borůvka算法是最早的最小生成树算法之一，适用于稀疏图。算法的每个阶段为图中的每个连通分量选择一条权重最小的边，并将这些边添加到生成树中，直到图变为连通的。

伪代码：

BORUVKA(G):
  forest = each vertex in G is a separate tree
  while there is more than one tree in the forest:
    for each tree T in the forest:
      find the smallest edge connecting T to another tree
      add this edge to the forest
  return the edges added to the forest

4. Sollin算法

Sollin算法（也被称为Borůvka的改进版本）同样适用于稀疏图，其基本想法是在每个阶段找到每个连通分量键值最小的边，并将它们加入生成树，像Borůvka算法一样重复这个过程，直到所有分量合并到一起。

伪代码：

SOLLIN(G):
  Initialize a forest F with each vertex in G as a separate tree
  while F has more than one tree do
    for each tree T in the forest F do
      let e = the lightest edge with one end in T
      if there is no edge chosen for T or e is lighter than the already chosen edge
        choose e for T
    for each edge e chosen in this round do
      if e connects two different trees then
        add e to the forest F
  return the forest F as the minimum spanning tree

在Sollin算法中，检查加入边e后是否会造成环路的操作通过查询树的根节点来实现，保证了每次迭代加入的边一定属于不同的连通分量。