1. Push-Relabel算法思想

对于一个网络流图: 该算法直观可以这样理解，先在源节点处加入充足的流(跟源节点$s$相连的所有边的容量之和)，然后开始按一定规则进行流渗透，一个边一个边的向汇点渗透，直到没法再渗透（类似于Ford-Fulkerson算法中找不到增广路径了），那么这时再把一些剩余的流回收到源节点$s$就可。
主要分为两个步骤：push和relabel。push表示从所有节点找出一个存水量大于0的节点$u$，将它所存的水尽可能推向与它相邻的节点$v$。要实现该push的操作必须满足下面条件：该点存水量$e(u)>0$，节点$u$的高度大于节$v$的高度。本次推送的流值$(\mathbf{u},\mathbf{v}).f=\min \mathbf{e}(\mathbf{u}),(\mathbf{u},\mathbf{v}).capacity$为边 $\mathbf{edge}(\mathbf{u},\mathbf{v})$的当前容量，这个值在推进过程中会一直变换。relabel表示某一个节点存水量大于0但水流不出去时，我们对该节点高度增加1，这就是所谓relabel操作，使得该节点的存水量流入比它低的节点。一开始的时候我们设置源节点高度为$N$,此处$N$为节点数，其他所有节点高度为0，并且汇节点的高度固定为0，其他节点高度在算法执行过程中高度$h$会改变。

算法步骤：
1.初始化前置流：将与源点s相连的管道流量$f(0,i)$设为该管道的容量，即$f(0,i)=c(0,i)$；将源点$s$的高度$h(0)=V$，($V$表示图的顶点个数)，其余顶点高度$h(i)=0$；将源的点余量$e(0)$设为源容量减去源的流出量，即$e(0)=-\sum f(0,i)=-\sum c(0,i)$，与源$s$相连的点余量设为该点的流入量$e(i)=c(0,i)$，其余点都为0。

2.搜索是否有节点的点余量$e(u)>0$，如果存在，表示要对该点进行操作——重标记或者压入流：检查与该点$u$全部的相邻点$v$，若该点比它相邻点的高度大$h(u)>h(v)$,该管道的当前容量为$c(u,v)$，将该点$u$的余量以最大方式压入该管道$delta=min(e(u),c(u,v))$,然后对节点$u$,$v$的余量$e$、边$(u,v)$的容量进行相应的进行减加操作；如果找不到高度比自己低的相邻节点$v$,则对节点$u$的高度增加1，即$h(u)=h(u)+1$。如此继续进行Push操作。以上的重标记或压入流操作循环进行，直至该点的余量$e(u)$为0。

3.重复第2步，直找不到余量大于0的节点，停止算法，最后输出汇点$t$的余量$e(t)$,该值就是最后所求的最大流。最小割。

2.Push-Relabel算法原理示意图

给定的网络流图如下：

第一步：初始化操作：

第一次Push不成功，进行Relabel

第二次Push，成功

继续Push

继续Push

继续Push

至此结束。

3.Push-Relabel算法具体实例

求解下面网络流图的最大流：

源节点为s
,汇节点为t

具体程序实现如下：

/****************************************************
Description:Push-Relabel算法求解网络最大流
Author:Robert.TY
Date:2016.12.10 
****************************************************/ 
#include<iostream>
#include<limits>
#include<iomanip> 
using namespace std;
struct Point{
    char ch;//节点标识 
    int e;//存货量
    int h;//高度 
};    
Point point[6];               
int graph[6][6]={{0,10,10,0,0,0},
                 {0,0,2,8,4,0},
                 {0,0,0,9,0,0},
                 {0,0,0,0,9,10},
                 {0,0,0,0,0,10},
                 {0,0,0,0,0,0}} ;        
int Push_Relabel(int s, int t,int n); //参数为 起点  端点  节点数 

int main(){  
    int  n=6;  
    point[0].ch='s';  point[0].e=0; point[0].h=0; 
    point[1].ch='u';  point[1].e=0; point[1].h=0; 
    point[2].ch='v';  point[2].e=0; point[2].h=0; 
    point[3].ch='a';  point[3].e=0; point[3].h=0; 
    point[4].ch='b';  point[4].e=0; point[4].h=0; 
    point[5].ch='t';  point[5].e=0; point[5].h=0; 
    cout<<"原始网络图邻接矩阵："<<endl;
    for(int i=0;i<=5;i++){
        for(int j=0;j<=5;j++){
            cout<<setw(6)<<graph[i][j]<<" ";

        }cout<<endl;
    } 
    cout<<"max_flow="<<Push_Relabel(0, n-1,n)<<endl; 
    cout<<"graph流图矩阵："<<endl;
    for(int i=0;i<=5;i++){
        for(int j=0;j<=5;j++){
            cout<<setw(6)<<graph[i][j]<<" ";

        }cout<<endl;
    } 
    return 0;  
} 

int Push_Relabel(int s, int t,int n)  
{  
    int  max_flow;
    point[s].h = n;  //起始点高度置为n 最高
    //初始化 将start点的库存 流出去 update剩余图 
    for (int u = 1; u <= t; u++) {  
        if (graph[s][u] > 0) {  
            point[u].e = graph[s][u];  
            point[s].e -= graph[s][u];  
            graph[u][s] = graph[s][u];  
            graph[s][u] = 0;  
        }   
    }
    while(1) {  
        int finishflag = 1;  
        for (int u = s+1; u < t; u++) {  //搜索除  节点s 节点t以外的节点 
            if (point[u].e > 0) {  //发现库存量大于0的节点 u  进行push 
                finishflag = 0;  
                int relabel = 1;   //先假设顶点u需要relabel  提高高度h 
                for (int v = s; v <= t && point[u].e > 0; v++) {   //搜索能push的顶点   
                    if (graph[u][v] > 0 && point[u].h >point[v].h) {  //发现节点v 
                        relabel = 0;  //顶点u不需要relabel
                        int bottleneck = min(graph[u][v], point[u].e);  
                        point[u].e -= bottleneck; //u节点库存量减少 
                        point[v].e += bottleneck; //v节点库存量减少
                        graph[u][v] -= bottleneck;  
                        graph[v][u] += bottleneck;  

                    }  
                }  
                if (relabel==1) {  //没有可以push的顶点,u节点需要relabel 提高高度
                    point[u].h += 1;   
                }  
            }  
        }  
        if (finishflag==1) { // 除源点和汇点外,每个顶点的e[i]都为0 
            max_flow = 0;  
            for (int u = s; u <= t; u++) {  
                if (graph[t][u] > 0) {  
                    max_flow += graph[t][u];  
                }  
            }  
            //cout<<"max_flow="<<max_flow<<endl;
            break;  
        }  
    }  
    return max_flow;  
}  

结果如下：

原始网络图邻接矩阵：
     0     10     10      0      0      0
     0      0      2      8      4      0
     0      0      0      9      0      0
     0      0      0      0      9     10
     0      0      0      0      0     10
     0      0      0      0      0      0
max_flow = 19
graph 流图矩阵：
     0      0      1      0      0      0
    10      0      2      2      0      0
     9      0      0      0      0      0
     0      6      9      0      4      0
     0      4      0      5      0      1
     0      0      0     10      9      0

--------------------------------
Process exited after 0.04971 seconds with return value 0

Press ANY key to exit...

最大流可以通过最后一行的数值得到，即与t直接相关联的流量。

参考：最大流网络之Push-Relabel算法

4. push relabel与图割

参考：
参考：
参考：
参考：
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