PCA的用处：找出反应数据中最大变差的投影（就是拉的最开）。
在减少需要分析的指标同时，尽量减少原指标包含信息的损失，以达到对所收集数据进行全面分析的目的
但是什么时候信息保留的最多呢？具体一点？
首先：去中心化（把坐标原点放到数据中心，如上图所示）
然后，找坐标系（找到方差最大的方向）
问题是：怎么找到方差最大的方向呢？？？？？？？？
一.引子
1.使用矩阵可以进行数据的线性变换（数据的拉伸）
2.使用矩阵可以进行数据的线性变换（数据的旋转）
3.结合起来两种操作
拉伸决定了方差最大的方向是横或者纵
旋转决定了方差最大的方向的角度
怎么求R？
协方差矩阵的特征向量就是R
二.数学原理：
三.PCA流程图：
PCA与SVD的联系：
四.例子：
五.代码：
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Created on Tue Oct 13 11:12:24 2020
@author: pc
① 对原数据集零均值化。代码是：meanRemoved = dataMat - mean(dataMat,axis=0)
② 求出均值化X的协方差矩阵：公式是：Cov(X)=\frac{1}{m-1}X^{T}X，代码是：covMat = cov(meanRemoved,rowvar=0)
③ 求这个协方差矩阵的特征值，特征向量，代码是：eigVals, eigVects = linalg.eig(mat(covMat))
④ 把这些特征值按从大到小排列，返回特征值的下标，代码是：eigValInd = argsort(-eigVals)
⑤ 选出前topNfeat个特征值，返回这些选中的特征值的下标，并根据下标从特征向量矩阵eigVects中取出这些选中的特征向量组成矩阵P，这就是我们要找的变换矩阵P，代码是：redEigVects = eigVects[:,eigValInd[:topNfeat] ]
⑥ 返回降维后的数据，公式是：Y=X•P，代码是：lowDDataMat = meanRemoved * redEigVects
⑦ 原数据映射到新的空间中。公式是：X^{'}=Y\cdot P^{T}+mean，代码是：reconMat = (lowDDataMat * redEigVects.T) + meanValues
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def pca(dataMat, topNfeat = 999999):
meanValues = np.mean(dataMat,axis=0) # 竖着求平均值，数据格式是m×n
meanRemoved = dataMat - meanValues # 0均值化 m×n维
covMat = np.cov(meanRemoved,rowvar=0) # 每一列作为一个独立变量求协方差 n×n维
eigVals, eigVects = np.linalg.eig(np.mat(covMat)) # 求特征值和特征向量 eigVects是n×n维
eigValInd = np.argsort(-eigVals) # 特征值由大到小排序，eigValInd十个arrary数组 1×n维
eigValInd = eigValInd[:topNfeat] # 选取前topNfeat个特征值的序号 1×r维
print(eigValInd)
redEigVects = eigVects[:,eigValInd] # 把符合条件的几列特征筛选出来组成P n×r维
lowDDataMat = meanRemoved * redEigVects # 矩阵点乘筛选的特征向量矩阵 m×r维 公式Y=X*P
reconMat = (lowDDataMat * redEigVects.T) + meanValues # 转换新空间的数据 m×n维
return lowDDataMat, reconMat
def drawPoints(dataset1,dataset2): # 画图，dataset1是没降维的数据，dataset2是数据映射到新空间的数据
fig = plt.figure()
ax1 = fig.add_subplot(211)
ax2 = fig.add_subplot(212)
ax1.scatter(dataset1[:,0],dataset1[:,1],marker='s',s=5,color='red')
dataset2 = np.array(dataset2)
ax2.scatter(dataset2[:,0],dataset2[:,1],s=5,color='blue')
plt.show()
if __name__ == '__main__':
dataSetList = []
fr = open('pca_data_set1.txt')
for row in fr.readlines():
cur_line = row.strip().split('\t')
proce_line = list(map(float,cur_line))
dataSetList.append(proce_line)
dataSetList = np.array(dataSetList)
data = dataSetList
proccess_data, reconMat = pca(data,topNfeat = 1)
drawPoints(data,reconMat)
