文章目录

• • 🍎1. 题目
  • 🍒2. 算法原理
  • 🍅3. 代码实现

🍎1. 题目

题目链接：【模板】二维前缀和_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)

描述

给你一个 n 行 m 列的矩阵 A ，下标从1开始。

接下来有 q 次查询，每次查询输入 4 个参数 x1 , y1 , x2 , y2

请输出以 (x1, y1) 为左上角 , (x2,y2) 为右下角的子矩阵的和，

输入描述：

第一行包含三个整数n,m,q.

接下来n行，每行m个整数，代表矩阵的元素

接下来q行，每行4个整数x1, y1, x2, y2，分别代表这次查询的参数

1 ≤ n ≤ 1000
1 ≤ q ≤ 10⁵
-10⁹ ≤ a[i] [j] ≤ 10⁹
1 ≤ x₁ ≤ x₂ ≤ n
1 ≤ y₁ ≤ y₂ ≤ m

输出描述：

输出q行，每行表示查询结果。

示例1

输入：

3 4 3
1 2 3 4
3 2 1 0
1 5 7 8
1 1 2 2
1 1 3 3
1 2 3 4

输出：

8
25
32

备注：

读入数据可能很大，请注意读写时间。

---

这题就是一个升级版的前缀和——DP34 【模板】前缀和，将一维数组升级成了二维数组

🍒2. 算法原理

解法一：暴力模拟

这里照样直接模拟，要哪个区间到哪个区间，我们直接遍历加上，这里时间复杂度为O(nmq)

解法二：前缀和

采用前缀和方法，分为2步：

1. 预处理出来一个前缀和矩阵，dp[i][j]表示从[1,1]位置到[i,j]位置
   
   如果我们求dp[i][j]的时候依旧从前往后依次遍历，那这个时间复杂度也是蛮高的，我们可以将要求的dp[i][j]抽象成4个部分：
   
   那么则有dp[i][j] = A + B + C + D，其中A和D好求，B区域可以理解为(A+B)-A，C也同理(A+C)-A，这样就能推出dp[i][j] = (A+B)+(A+C)+D-A

   所以dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] + arr[i][j] - dp[i-1][j-1]，这样之后我们就可以直接从dp表里面拿值了，这个时间复杂度为O(1)

2. 使用前缀和矩阵，假设我们求得区域为[x₁，y₁] ~ [x₂，y₂]
   
   我们要求的就是D区域，但是dp表里面，没有D区域的直接值，但D = (A+B+C+D) - (A+B) - (A+C) + A，表里面有A、A+B和A+C的值，所以D = dp[x2][y2] -dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1]，得出这个公式，那我们每次使用这个前缀和矩阵的时候，时间复杂度也是O(1)。

那么整体的时间复杂度为O(mn)+O(q)

🍅3. 代码实现

#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int main()
{
    int n = 0,m = 0,q = 0;
    cin>>n>>m>>q;
    vector<vector<int>> arr(n+1,vector<int>(m+1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cin>>arr[i][j];
    

    //预处理前缀和矩阵
    vector<vector<long long>> dp(n+1,vector<long long>(m+1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]+arr[i][j]-dp[i-1][j-1];
    
    //使用前缀和矩阵
    int x1 = 0,x2 = 0,y1 = 0, y2 = 0;
    while(q--)
    {
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;    //输入顺序
        cout<<dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1]<<endl;
    }
    return 0 ;
}